1267.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja:

z=1−i31+i3z = \frac{1 - i\sqrt{3}}{1 + i\sqrt{3}}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo odredili realni i imaginarni deo, potrebno je da kompleksan broj zapišemo u algebarskom obliku z=x+iy. z = x + iy . Prvi korak je racionalisanje imenioca množenjem brojioca i imenioca konjugovano-kompleksnim brojem imenioca.

z=1−i31+i3⋅1−i31−i3z = \frac{1 - i\sqrt{3}}{1 + i\sqrt{3}} \cdot \frac{1 - i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}}

Množimo brojlac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem. U brojiocu dobijamo kvadrat binoma, a u imeniocu razliku kvadrata.

z=(1−i3)212−(i3)2z = \frac{(1 - i\sqrt{3})^2}{1^2 - (i\sqrt{3})^2}

Kvadriramo binom u brojiocu koristeći formulu (a−b)2=a2−2ab+b2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 i sređujemo imenilac, uzimajući u obzir da je i2=−1. i^2 = -1 .

z=1−2i3+(i3)21−i2⋅3=1−2i3−31−(−1)⋅3z = \frac{1 - 2i\sqrt{3} + (i\sqrt{3})^2}{1 - i^2 \cdot 3} = \frac{1 - 2i\sqrt{3} - 3}{1 - (-1) \cdot 3}

Sabiramo realne delove u brojiocu i sredimo imenilac do kraja.

z=−2−2i31+3=−2−2i34z = \frac{-2 - 2i\sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{-2 - 2i\sqrt{3}}{4}

Delimo svaki član brojioca sa imeniocem kako bismo razdvojili realni i imaginarni deo.

z=−24−234i=−12−32iz = -\frac{2}{4} - \frac{2\sqrt{3}}{4}i = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i

Na osnovu dobijenog algebarskog oblika, očitavamo realni deo Re(z) \text{Re}(z) i imaginarni deo Im(z). \text{Im}(z) .

Re(z)=−12,Im(z)=−32\text{Re}(z) = -\frac{1}{2}, \quad \text{Im}(z) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti