1266. Kompleksni brojevi

Prvo računamo vrednost $f(3 + 2i) .$ Uvrštavamo $z = 3 + 2i$ u izraz.

f(3 + 2i) = -(3 + 2i)^3 + 3(3 + 2i)^2 + (3 + 2i) + 2

Koristimo formule za kub i kvadrat binoma: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ i $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

(3 + 2i)^3 = 27 + 3 \cdot 9 \cdot 2i + 3 \cdot 3 \cdot (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i - 36 - 8i = -9 + 46i

Zatim računamo kvadratni član i spajamo sve delove izraza.

3(3 + 2i)^2 = 3(9 + 12i - 4) = 3(5 + 12i) = 15 + 36i

Konačan rezultat za $f(3+2i)$ je:

f(3 + 2i) = -(-9 + 46i) + (15 + 36i) + (3 + 2i) + 2 = 9 - 46i + 15 + 36i + 3 + 2i + 2 = 29 - 8i

Sledeće računamo $f(3 - 2i) .$ Kako su koeficijenti polinoma realni brojevi, važi osobina $f(\bar{z}) = \overline{f(z)} .$

f(3 - 2i) = \overline{f(3 + 2i)} = \overline{29 - 8i} = 29 + 8i

Računamo vrednost $g(4 + i)$ uvrštavanjem u drugu funkciju.

g(4 + i) = (4 + i)^2 - 5(1 + i)(4 + i) + 17i

Sređujemo članove izraza pojedinačno.

(4 + i)^2 = 16 + 8i - 1 = 15 + 8i \\ 5(1 + i)(4 + i) = 5(4 + i + 4i - 1) = 5(3 + 5i) = 15 + 25i

Oduzimamo dobijene vrednosti.

g(4 + i) = (15 + 8i) - (15 + 25i) + 17i = 15 + 8i - 15 - 25i + 17i = 0

Na kraju računamo $g(1 + 4i) .$

g(1 + 4i) = (1 + 4i)^2 - 5(1 + i)(1 + 4i) + 17i

Sređujemo izraz za $g(1 + 4i) .$

(1 + 4i)^2 = 1 + 8i - 16 = -15 + 8i \\ 5(1 + i)(1 + 4i) = 5(1 + 4i + i - 4) = 5(-3 + 5i) = -15 + 25i

Sabiranjem dobijamo konačnu vrednost:

g(1 + 4i) = (-15 + 8i) - (-15 + 25i) + 17i = -15 + 8i + 15 - 25i + 17i = 0

1266.Kompleksni brojevi