Vrednost izraza za kompleksni broj sa korenom 3

Prvo zamenjujemo vrednost $x$ u izraz i računamo kvadrat kompleksnog broja $x^2 .$ Koristimo formulu za kvadrat binoma $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

x^2 = \left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2

Sređujemo dobijeni izraz, vodeći računa da je $i^2 = -1 :$

x^2 = \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{2} + i^2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4}

Sabiramo realne delove u izrazu za $x^2 :$

x^2 = -\frac{2}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}

Sada uvrštavamo dobijenu vrednost $x^2$ i datu vrednost $x$ u početni izraz $x^2 - x + 1 :$

V = \left( -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 1

Oslobađamo se zagrada i grupišemo realne i imaginarne delove:

V = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} + 1

Računamo konačnu vrednost izraza. Realni delovi $-\frac{1}{2}$ i $\frac{1}{2}$ se potiru, dok se imaginarni delovi sabiraju:

V = 1 - 2 \cdot \left( i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 - i\sqrt{3}

75.b