1259.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza x2−x+1 x^2 - x + 1 za datu vrednost kompleksnog broja x: x :

x=−12+i32x = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo zamenjujemo vrednost x x u izraz i računamo kvadrat kompleksnog broja x2. x^2 . Koristimo formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

x2=(−12+i32)2=(−12)2+2⋅(−12)⋅(i32)+(i32)2x^2 = \left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2

Sređujemo dobijeni izraz, vodeći računa da je i2=−1: i^2 = -1 :

x2=14−i32+i2⋅34=14−i32−34x^2 = \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{2} + i^2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4}

Sabiramo realne delove u izrazu za x2: x^2 :

x2=−24−i32=−12−i32x^2 = -\frac{2}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}

Sada uvrštavamo dobijenu vrednost x2 x^2 i datu vrednost x x u početni izraz x2−x+1: x^2 - x + 1 :

V=(−12−i32)−(−12+i32)+1V = \left( -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 1

Oslobađamo se zagrada i grupišemo realne i imaginarne delove:

V=−12−i32+12−i32+1V = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} + 1

Računamo konačnu vrednost izraza. Realni delovi −12 -\frac{1}{2} i 12 \frac{1}{2} se potiru, dok se imaginarni delovi sabiraju:

V=1−2⋅(i32)=1−i3V = 1 - 2 \cdot \left( i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 - i\sqrt{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti