Minimum kvadratne funkcije: dve funkcije, isti minimum

Minimum kvadratne funkcije $f(x) = ax^2 + bx + c$ (gde je $a > 0$ ) dostiže se u temenu parabole, a njegova vrednost je data formulom:

y_{min} = \frac{4ac - b^2}{4a}

Računamo minimum prve funkcije $f_1(x) = x^2 - kx + k - 1 .$ Ovde su koeficijenti $a_1 = 1 ,$ $b_1 = -k$ i $c_1 = k - 1 :$

y_{min1} = \frac{4 \cdot 1 \cdot (k - 1) - (-k)^2}{4 \cdot 1}

Sređujemo izraz za $y_{min1} :$

y_{min1} = \frac{4k - 4 - k^2}{4}

Računamo minimum druge funkcije $f_2(x) = x^2 - 2x + k .$ Ovde su koeficijenti $a_2 = 1 ,$ $b_2 = -2$ i $c_2 = k :$

y_{min2} = \frac{4 \cdot 1 \cdot k - (-2)^2}{4 \cdot 1}

Sređujemo izraz za $y_{min2} :$

y_{min2} = \frac{4k - 4}{4} = k - 1

Postavljamo uslov da su minimumi jednaki $y_{min1} = y_{min2} :$

\frac{-k^2 + 4k - 4}{4} = k - 1

Množimo celu jednačinu sa 4 kako bismo se oslobodili razlomka:

-k^2 + 4k - 4 = 4(k - 1)

Sređujemo jednačinu:

-k^2 + 4k - 4 = 4k - 4

Nakon skraćivanja članova $4k$ i $-4$ sa obe strane, dobijamo:

-k^2 = 0 \implies k = 0

Vrednost parametra $k$ za koju funkcije imaju jednake minimume je:

k = 0

263