Vrednost izvoda u tački: (1 − tg x)/(1 + ctg x)

TEKST ZADATKA

Ako je $f(x)=\frac{1-\tg{x}}{1+\ctg{x}}$ izračunati

f'(\frac{\pi}{4})

REŠENJE ZADATKA

Primenjuje se formula za količnik funkcija: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'(x_{0}) \cdot g(x_{0}) - f(x_{0}) \cdot g'(x_{0})}{(g(x_{0}))^2}$

f'(x)=\frac{(1-\tg{x})'(1+\ctg{x})-(1-\tg{x})(1+\ctg{x})'}{(1+\ctg{x})^2}

Primenjuju se tablični intervali: $(\tg{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}},$ $(\ctg{x})'=-\frac{1}{\sin^2{x}}$

\frac{-\frac{1}{\cos^2{x}}(1+\ctg{x})+(1-\tg{x})\frac{1}{\sin^2{x}}}{(1+\ctg{x})^2}

Uvrstiti $x = \frac{\pi}{4}.$

\frac{-\frac{1}{\cos^2{\frac{\pi}{4}}}(1+\ctg{\frac{\pi}{4}})+(1-\tg{\frac{\pi}{4}})\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi}{4}}}}{(1+\ctg{\frac{\pi}{4}})^2}

Zamenjuju se vrednosti trigonometrijskih funkcija:

\frac{-(\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})^2(1+1) +(1-1)(\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})^2}{(1+1)^2}

Sređuje se izraz:

\frac{-\frac{4}{2} \cdot 2}{2^2}=-1

Izvod količnika 7