76.

Zadatak

TEKST ZADATKA

Ako je f(x)=1−tg⁡x1+ctg⁡xf(x)=\frac{1-\tg{x}}{1+\ctg{x}}izračunati

f′(π4)f'(\frac{\pi}{4})
REŠENJE ZADATKA

Primenjuje se formula za količnik funkcija: (fg)′=f′(x0)⋅g(x0)−f(x0)⋅g′(x0)(g(x0))2 (\frac{f}{g})' = \frac{f'(x_{0}) \cdot g(x_{0}) - f(x_{0}) \cdot g'(x_{0})}{(g(x_{0}))^2}

f′(x)=(1−tg⁡x)′(1+ctg⁡x)−(1−tg⁡x)(1+ctg⁡x)′(1+ctg⁡x)2f'(x)=\frac{(1-\tg{x})'(1+\ctg{x})-(1-\tg{x})(1+\ctg{x})'}{(1+\ctg{x})^2}

Primenjuju se tablični intervali: (tg⁡x)′=1cos⁡2x,(\tg{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}}, (ctg⁡x)′=−1sin⁡2x(\ctg{x})'=-\frac{1}{\sin^2{x}}

−1cos⁡2x(1+ctg⁡x)+(1−tg⁡x)1sin⁡2x(1+ctg⁡x)2\frac{-\frac{1}{\cos^2{x}}(1+\ctg{x})+(1-\tg{x})\frac{1}{\sin^2{x}}}{(1+\ctg{x})^2}

Uvrstiti x=π4.x = \frac{\pi}{4}.

−1cos⁡2π4(1+ctg⁡π4)+(1−tg⁡π4)1sin⁡2π4(1+ctg⁡π4)2\frac{-\frac{1}{\cos^2{\frac{\pi}{4}}}(1+\ctg{\frac{\pi}{4}})+(1-\tg{\frac{\pi}{4}})\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi}{4}}}}{(1+\ctg{\frac{\pi}{4}})^2}

Zamenjuju se vrednosti trigonometrijskih funkcija:

−(122)2(1+1)+(1−1)(122)2(1+1)2\frac{-(\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})^2(1+1) +(1-1)(\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})^2}{(1+1)^2}

Sređuje se izraz:

−42⋅222=−1\frac{-\frac{4}{2} \cdot 2}{2^2}=-1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti