1900. Iracionalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Iracionalna nejednačina oblika $\sqrt{f(x)} < g(x)$ je ekvivalentna sistemu nejednačina:

\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}

Primenom ovog pravila na našu nejednačinu dobijamo sledeći sistem:

\begin{cases} x^2 - x - 12 \ge 0 \\ x > 0 \\ x^2 - x - 12 < x^2 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu $x^2 - x - 12 \ge 0 .$ Prvo nalazimo nule odgovarajuće kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}

Nule su $x_1 = 4$ i $x_2 = -3 .$ Kvadratni trinom možemo faktorisati kao:

(x - 4)(x + 3) \ge 0

x \in (-\infty, -3)

x \in (-3, 4)

x \in (4, +\infty)

x - 4

-

-

+

x + 3

-

+

+

(x - 4)(x + 3)

+

-

+

Na osnovu tabele znakova, rešenje prve nejednačine je:

x \in (-\infty, -3] \cup [4, +\infty)

Druga nejednačina je već rešena ( $x > 0$ ). Sada rešavamo treću nejednačinu:

x^2 - x - 12 < x^2

Skraćivanjem $x^2$ sa obe strane dobijamo:

-x - 12 < 0 \implies x > -12

Konačno rešenje je presek rešenja sve tri nejednačine:

x \in (-\infty, -3] \cup [4, +\infty) \quad \land \quad x > 0 \quad \land \quad x > -12

Tražimo presek ovih intervala:

x \in [4, +\infty)

370.v