5320. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ovde osnova teži broju $1 ,$ a izložilac beskonačnosti, pa imamo neodređeni oblik „ $1^\infty$ ” (nije tačno da je rezultat $1 :$ npr. $\left(1+\frac1x\right)^x\to e$ ). Opšti postupak: osnovu zapišemo kao $1+t ,$ gde $t\to0 ,$ pa izraz preuredimo: $(1+t)^{\beta}=\left[(1+t)^{\frac1t}\right]^{t\beta} .$ Izraz u uglastoj zagradi teži broju $e ,$ pa je rezultat $e^{L} ,$ gde je $L=\lim t\beta .$

Ako osnova stepena teži broju $e ,$ a izložilac broju $L ,$ onda stepen teži broju $e^L$ (stepenovanje je neprekidno). Ako izložilac teži $+\infty ,$ stepen teži $+\infty ,$ a ako teži $-\infty ,$ stepen teži nuli (jer je $e>1$ ).

Kada $x\to1 ,$ $\sin\pi x\to\sin\pi=0 ,$ pa osnova teži broju $1 ,$ a $\operatorname{ctg}\pi x=\frac{\cos\pi x}{\sin\pi x}$ raste po veličini neograničeno. Ovde je $t=\sin\pi x$ (različito od nule za $x$ blizu $1 ,$ $x\neq1$ ) i $\beta=\operatorname{ctg}\pi x :$

t\beta=\sin\pi x\cdot\frac{\cos\pi x}{\sin\pi x}=\cos\pi x

Kosinus je definisan u tački $\pi ,$ pa:

\lim_{x\to1}t\beta=\cos\pi=-1 \implies \lim_{x\to1}(1+\sin\pi x)^{\operatorname{ctg}\pi x}=e^{-1}

Provera brojevima, blizu tačke $1$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=0{,}999:\ f(x)\approx0{,}3685 \\ x=1{,}001:\ f(x)\approx0{,}3673\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to1}(1+\sin\pi x)^{\operatorname{ctg}\pi x}=e^{-1} .$

Započni učenje

Online časovi

130.b

Beleške