130.a

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 .$ Proverimo je brojevima: za $x=0{,}1$ je $\frac{\sin x}{x}\approx0{,}99833 ,$ za $x=0{,}01$ je $\approx0{,}99998 .$ Po pravilu o smeni iz gradiva, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži nuli: $\lim\frac{\sin u}{u}=1 .$ Zato je, na primer, $\frac{\sin3x}{3x}\to1$ kada $x\to0 .$

Ovde osnova teži broju $1 ,$ a izložilac beskonačnosti, pa imamo neodređeni oblik „$1^\infty$” (nije tačno da je rezultat $1 :$ npr. $\left(1+\frac1x\right)^x\to e$). Opšti postupak: osnovu zapišemo kao $1+t ,$ gde $t\to0 ,$ pa izraz preuredimo: $(1+t)^{\beta}=\left[(1+t)^{\frac1t}\right]^{t\beta} .$ Izraz u uglastoj zagradi teži broju $e ,$ pa je rezultat $e^{L} ,$ gde je $L=\lim t\beta .$

Ako osnova stepena teži broju $e ,$ a izložilac broju $L ,$ onda stepen teži broju $e^L$ (stepenovanje je neprekidno). Ako izložilac teži $+\infty ,$ stepen teži $+\infty ,$ a ako teži $-\infty ,$ stepen teži nuli (jer je $e>1$).

Rešenje: $\lim_{x\to0}(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2x}=e .$