129.e

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e\approx2{,}71828 .$ Proverimo brojevima: za $x=10$ izraz iznosi $\approx2{,}5937 ,$ za $x=100$ $\approx2{,}7048 ,$ za $x=1000$ $\approx2{,}7169 .$ Po pravilu o smeni, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži beskonačnosti: $\left(1+\frac1u\right)^u\to e .$ Ekvivalentno, ako $t\to0 ,$ onda $(1+t)^{\frac1t}\to e .$

Ovde osnova teži broju $1 ,$ a izložilac beskonačnosti, pa imamo neodređeni oblik „$1^\infty$” (nije tačno da je rezultat $1 :$ npr. $\left(1+\frac1x\right)^x\to e$). Opšti postupak: osnovu zapišemo kao $1+t ,$ gde $t\to0 ,$ pa izraz preuredimo: $(1+t)^{\beta}=\left[(1+t)^{\frac1t}\right]^{t\beta} .$ Izraz u uglastoj zagradi teži broju $e ,$ pa je rezultat $e^{L} ,$ gde je $L=\lim t\beta .$

Ako osnova stepena teži broju $e ,$ a izložilac broju $L ,$ onda stepen teži broju $e^L$ (stepenovanje je neprekidno). Ako izložilac teži $+\infty ,$ stepen teži $+\infty ,$ a ako teži $-\infty ,$ stepen teži nuli (jer je $e>1$).

Rešenje: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x-4}{3x+2}\right)^{\frac{x+1}{3}}=e^{-\frac23} .$