5220. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Ako uvrstimo $x_0 ,$ i brojilac i imenilac postaju $0 ,$ pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac00$ ”. Kada se u izrazu javljaju koreni, zajednički činilac koji pravi nulu „sakriven” je ispod korena. Izvlačimo ga racionalisanjem: množimo brojilac i imenilac istim izrazom tako da koreni nestanu. Koristimo formule $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ za kvadratne korene i $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3 ,$ $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3$ za treće korene.

Uvrštavanjem $x=2 :$ brojilac $\sqrt2-\sqrt2=0 ,$ imenilac $4-4=0 .$ U imeniocu izvlačimo $x ,$ a zatim $x-2$ rastavljamo kao razliku kvadrata ( $x=(\sqrt x)^2 ,$ $2=(\sqrt2)^2$ ):

x^2-2x=x(x-2)=x(\sqrt x-\sqrt2)(\sqrt x+\sqrt2)

Skraćujemo $\sqrt x-\sqrt2$ i uvrštavamo $x=2 :$

\lim_{x\to2}\frac{1}{x(\sqrt x+\sqrt2)}=\frac{1}{2\cdot2\sqrt2}=\frac{1}{4\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{8}

U poslednjem koraku smo racionalisali imenilac: pomnožili brojilac i imenilac sa $\sqrt2 ,$ pa je $4\sqrt2\cdot\sqrt2=8 .$

Provera brojevima, blizu tačke $2$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=1{,}999:\ f(x)\approx0{,}1769 \\ x=2{,}001:\ f(x)\approx0{,}1767\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-2x}=\frac{\sqrt2}{8} .$

Započni učenje

Online časovi

122.e

Beleške