5201. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$ ako za svaki broj $M$ postoji $\delta>0$ tako da iz $0<|x-x_0|<\delta$ sledi $f(x)>M .$ Jednostavno rečeno: koliko god veliki broj $M$ zamislimo, vrednosti funkcije postaju veće od njega čim je $x$ dovoljno blizu $x_0 .$ Analogno, $-\infty$ znači da vrednosti postaju manje od svakog zamišljenog broja.

Uvrštavanjem $x=2$ imenilac postaje $2\cdot0^2=0 ,$ a brojilac je $4 .$ Pogledajmo znak imenioca blizu tačke $2 :$ činilac $x$ je blizu $2 ,$ dakle pozitivan, a $(x-2)^2$ je pozitivan jer je kvadrat. Imenilac je zato mali pozitivan broj.

Brojevima, sa leve strane:

\begin{gathered}x=1{,}9:\ f(x)\approx210{,}5263 \\ x=1{,}99:\ f(x)\approx20100{,}5025 \\ x=1{,}999:\ f(x)\approx2\cdot10^{6}\end{gathered}

I sa desne strane:

\begin{gathered}x=2{,}1:\ f(x)\approx190{,}4762 \\ x=2{,}01:\ f(x)\approx19900{,}4975 \\ x=2{,}001:\ f(x)\approx2\cdot10^{6}\end{gathered}

Deljenjem broja $4$ sve manjim pozitivnim brojem dobijamo sve veće brojeve, koji prestižu svaki zamišljeni broj $M :$

\frac{4}{\text{mali pozitivan broj}}\to+\infty

Rešenje: $\lim_{x\to2}\frac{4}{x(x-2)^2}=+\infty .$

Započni učenje

Online časovi

120.b

Beleške