5200. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$ ako za svaki broj $M$ postoji $\delta>0$ tako da iz $0<|x-x_0|<\delta$ sledi $f(x)>M .$ Jednostavno rečeno: koliko god veliki broj $M$ zamislimo, vrednosti funkcije postaju veće od njega čim je $x$ dovoljno blizu $x_0 .$ Analogno, $-\infty$ znači da vrednosti postaju manje od svakog zamišljenog broja.

Ako uvrstimo $x=1 ,$ imenilac postaje $0 ,$ a brojilac je $-2 .$ Deljenje nulom nije moguće, pa pravilo za količnik ne važi. Pogledajmo šta se dešava kada je $x$ blizu $1 :$ imenilac $(x-1)^2$ je kvadrat, dakle pozitivan i veoma mali broj.

Brojevima, sa leve strane:

\begin{gathered}x=0{,}9:\ f(x)=-200 \\ x=0{,}99:\ f(x)\approx-20000 \\ x=0{,}999:\ f(x)\approx-2\cdot10^{6}\end{gathered}

I sa desne strane:

\begin{gathered}x=1{,}1:\ f(x)=-200 \\ x=1{,}01:\ f(x)\approx-20000 \\ x=1{,}001:\ f(x)\approx-2\cdot10^{6}\end{gathered}

Deljenjem broja $-2$ sve manjim pozitivnim brojem dobijamo sve „negativnije” brojeve. Opšte: ako zamislimo bilo koji broj $M<0 ,$ onda je $\frac{-2}{(x-1)^2}<M$ čim je $(x-1)^2<\frac{-2}{M} ,$ tj. čim je $x$ dovoljno blizu broja $1 :$

\frac{-2}{\text{mali pozitivan broj}}\to-\infty

Rešenje: $\lim_{x\to1}\frac{-2}{(x-1)^2}=-\infty .$

Započni učenje

Online časovi

120.a

Beleške