5196. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Pravila iz gradiva: ako postoje $\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ i $\lim_{x\to x_0}g(x)=b ,$ onda je granična vrednost zbira, razlike i proizvoda jednaka zbiru, razlici i proizvodu graničnih vrednosti, a granična vrednost količnika je $\frac ab ,$ ako je $b\neq0 .$ Posledica: za polinome, razlomke, korene, stepene i trigonometrijske funkcije koje su definisane u tački $x_0$ granična vrednost je jednaka vrednosti funkcije u toj tački — dovoljno je uvrstiti $x_0 .$

Kotangens je definisan svuda osim u tačkama $k\pi ,$ pa i u tački $\frac{\pi}{6} .$ Uvrštavamo; podsetimo se da je $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=\frac{\cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} :$

\lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\operatorname{ctg}x=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=\sqrt3

Proverimo brojevima da se vrednosti zaista približavaju tom broju kada se $x$ približava tački sa leve strane:

\begin{gathered}x=0{,}423599:\ f(x)\approx2{,}2178 \\ x=0{,}513599:\ f(x)\approx1{,}7728 \\ x=0{,}522599:\ f(x)\approx1{,}7361\end{gathered}

I sa desne strane:

\begin{gathered}x=0{,}623599:\ f(x)\approx1{,}3901 \\ x=0{,}533599:\ f(x)\approx1{,}6927 \\ x=0{,}524599:\ f(x)\approx1{,}7281\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\operatorname{ctg}x=\sqrt3 .$

Započni učenje

Online časovi

119.m

Beleške