5195. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Pravila iz gradiva: ako postoje $\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ i $\lim_{x\to x_0}g(x)=b ,$ onda je granična vrednost zbira, razlike i proizvoda jednaka zbiru, razlici i proizvodu graničnih vrednosti, a granična vrednost količnika je $\frac ab ,$ ako je $b\neq0 .$ Posledica: za polinome, razlomke, korene, stepene i trigonometrijske funkcije koje su definisane u tački $x_0$ granična vrednost je jednaka vrednosti funkcije u toj tački — dovoljno je uvrstiti $x_0 .$

Tangens je definisan svuda osim u tačkama $\frac{\pi}{2}+k\pi ,$ pa i u tački $\frac{\pi}{4} .$ Uvrštavamo:

\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1

Proverimo brojevima da se vrednosti zaista približavaju tom broju kada se $x$ približava tački sa leve strane:

\begin{gathered}x=0{,}685398:\ f(x)\approx0{,}8176 \\ x=0{,}775398:\ f(x)\approx0{,}9802 \\ x=0{,}784398:\ f(x)\approx0{,}998\end{gathered}

I sa desne strane:

\begin{gathered}x=0{,}885398:\ f(x)\approx1{,}223 \\ x=0{,}795398:\ f(x)\approx1{,}0202 \\ x=0{,}786398:\ f(x)\approx1{,}002\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\operatorname{tg}x=1 .$

Započni učenje

Online časovi

119.lj

Beleške