3354.

149

TEKST ZADATKA

Koliko se šestocifrenih brojeva može sastaviti od cifara 0, 0 , 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5 5 uz uslov da se svaka cifra pojavljuje tačno jednom i da su parne cifre jedna uz drugu. (Napomena: 0 0 je parna cifra.)

REŠENJE ZADATKA

Identifikujemo parne i neparne cifre u datom skupu. Parne cifre su 0,2,4, 0, 2, 4 , a neparne cifre su 1,3,5. 1, 3, 5 .

Pošto parne cifre moraju biti jedna uz drugu, možemo ih posmatrati kao jedan nedeljivi blok. Sada raspoređujemo taj jedan blok i tri preostale neparne cifre, što čini ukupno 4 4 elementa.

Računamo ukupan broj rasporeda ova 4 4 elementa, privremeno ignorišući pravilo da broj ne sme počinjati nulom. Prema pravilu proizvoda, broj načina da se oni rasporede je:

4⋅3⋅2⋅1=244 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

Unutar samog bloka parnih cifara, cifre 0,2,4 0, 2, 4 takođe mogu međusobno da menjaju mesta. Broj načina za njihov raspored je:

3⋅2⋅1=63 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Ukupan broj svih mogućih rasporeda dobijamo množenjem broja rasporeda elemenata i broja rasporeda unutar bloka.

24⋅6=14424 \cdot 6 = 144

Šestocifreni broj ne sme počinjati cifrom 0. 0 . Zato od ukupnog broja moramo oduzeti one rasporede gde je 0 0 na prvom mestu. Da bi se to desilo, blok parnih cifara mora biti na samom početku, a 0 0 mora biti prva cifra u tom bloku.

Računamo broj takvih nevažećih rasporeda. Ako je 0 0 fiksirano na prvom mestu, preostale dve parne cifre u bloku možemo rasporediti na 2⋅1=2 2 \cdot 1 = 2 načina. Tri neparne cifre van bloka možemo rasporediti na 3⋅2⋅1=6 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 načina.

Prema pravilu proizvoda, ukupan broj nevažećih rasporeda (koji počinju nulom) je:

2⋅6=122 \cdot 6 = 12

Konačan broj traženih šestocifrenih brojeva dobijamo kada od ukupnog broja rasporeda oduzmemo broj nevažećih rasporeda.

144−12=132144 - 12 = 132