2117.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Zapisujemo broj $1$ sa desne strane kao stepen sa istom osnovom:

Sada početna nejednačina glasi:

Proveravamo znak osnove $x^2+x+1 .$ Diskriminanta ove kvadratne funkcije je $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 ,$ a koeficijent uz kvadratni član je pozitivan. Zbog toga je osnova uvek strogo pozitivna za svako realno $x .$

**Slučaj 1:** Osnova je veća od $1 .$

Sređujemo nejednačinu:

Iz tabele vidimo da je uslov za prvi slučaj ispunjen za:

Kada je osnova veća od $1 ,$ znak nejednakosti se ne menja prilikom prelaska na izložioce:

Rešenje prvog slučaja dobijamo presekom uslova za osnovu i dobijenog rešenja za izložioce:

**Slučaj 2:** Osnova je između $0$ i $1 .$ Pošto smo već utvrdili da je osnova uvek pozitivna, ostaje samo da rešimo:

Sređivanjem dobijamo:

Na osnovu prethodne analize znaka, ovaj uslov je ispunjen za:

Kada je osnova između $0$ i $1 ,$ znak nejednakosti se menja prilikom prelaska na izložioce:

Rešenje drugog slučaja je presek uslova za osnovu i dobijenog rešenja za izložioce:

Konačno rešenje je unija rešenja iz prvog i drugog slučaja:

Konačan rezultat je: