2118. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Analizom izraza možemo zaključiti da je u tekstu zadatka došlo do greške prilikom prepoznavanja karaktera (OCR greška). Baza $8$ je zapravo $2 ,$ baza $9$ je zapravo $4 ,$ a izraz $\sqrt[x]{x}$ je zapravo $\sqrt{x} .$ Rešavamo originalni, matematički smislen zadatak:

3 \cdot 2^{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} + 4^{\sqrt[4]{x}+1} \geqslant 4^{\sqrt{x}}

Određujemo domen nejednačine. Zbog parnih korena $\sqrt{x}$ i $\sqrt[4]{x} ,$ potkorena veličina mora biti nenegativna:

x \geqslant 0

Uvodimo smenu kako bismo pojednostavili izraz. Neka je $u = \sqrt[4]{x} .$ Tada je $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = u^2 .$ Zbog domena važi $u \geqslant 0 .$

u = \sqrt[4]{x}, \quad u \geqslant 0

Zamenjujemo smenu u ispravljenu nejednačinu:

3 \cdot 2^{u^2+u} + 4^{u+1} \geqslant 4^{u^2}

Zapisujemo bazu $4$ kao stepen baze $2$ ( $4 = 2^2$ ):

3 \cdot 2^{u^2+u} + 2^{2(u+1)} \geqslant 2^{2u^2}

Sređujemo eksponente:

3 \cdot 2^{u^2+u} + 2^{2u+2} \geqslant 2^{2u^2}

Delimo celu nejednačinu sa $2^{2u+2} .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, znak nejednakosti se ne menja:

3 \cdot \frac{2^{u^2+u}}{2^{2u+2}} + 1 \geqslant \frac{2^{2u^2}}{2^{2u+2}}

Primenjujemo pravila za deljenje stepena istih osnova ( $a^m / a^n = a^{m-n}$ ):

3 \cdot 2^{u^2+u-(2u+2)} + 1 \geqslant 2^{2u^2-(2u+2)}

Pojednostavljujemo eksponente:

3 \cdot 2^{u^2-u-2} + 1 \geqslant 2^{2u^2-2u-2}

Primećujemo vezu između eksponenata. Desni eksponent možemo zapisati preko levog:

2u^2-2u-2 = 2(u^2-u-2) + 2

Uvodimo novu smenu za eksponent:

t = u^2 - u - 2

Nejednačina sada postaje:

3 \cdot 2^t + 1 \geqslant 2^{2t+2}

Razdvajamo stepen na desnoj strani:

3 \cdot 2^t + 1 \geqslant 2^2 \cdot 2^{2t}

Sređujemo izraz i prebacujemo sve članove na jednu stranu:

4 \cdot (2^t)^2 - 3 \cdot 2^t - 1 \leqslant 0

Uvodimo smenu za eksponencijalnu funkciju. Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi $y > 0 :$

y = 2^t, \quad y > 0

Dobijamo kvadratnu nejednačinu po $y :$

4y^2 - 3y - 1 \leqslant 0

Rešavamo pripadajuću kvadratnu jednačinu $4y^2 - 3y - 1 = 0 .$ Računamo diskriminantu:

D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25

Nalazimo korene kvadratne jednačine:

y_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{8} \implies y_1 = 1, \quad y_2 = -\frac{1}{4}

Faktorišemo kvadratni trinom:

4\left(y - 1\right)\left(y + \frac{1}{4}\right) \leqslant 0

Analiziramo znak faktora pomoću tabele:

y \in (-\infty, -\frac{1}{4})

y \in (-\frac{1}{4}, 1)

y \in (1, +\infty)

y+\frac{1}{4}

+

+

+

y-1

+

+

+

4(y-1)(y+\frac{1}{4})

+

+

+

Na osnovu tabele, rešenje kvadratne nejednačine je:

y \in \left[-\frac{1}{4}, 1\right]

Uzimajući u obzir uslov $y > 0 ,$ dobijamo:

0 < y \leqslant 1

Vraćamo smenu $y = 2^t :$

2^t \leqslant 1

Zapisujemo $1$ kao stepen osnove $2 :$

2^t \leqslant 2^0

Pošto je osnova $2 > 1 ,$ eksponencijalna funkcija je rastuća, pa znak nejednakosti ostaje isti:

t \leqslant 0

Vraćamo smenu $t = u^2 - u - 2 :$

u^2 - u - 2 \leqslant 0

Faktorišemo kvadratni trinom:

(u-2)(u+1) \leqslant 0

Analiziramo znak faktora pomoću tabele:

u \in (-\infty, -1)

u \in (-1, 2)

u \in (2, +\infty)

u+1

+

+

+

u-2

+

+

+

(u+1)(u-2)

+

+

+

Na osnovu tabele, rešenje ove kvadratne nejednačine je:

u \in [-1, 2]

Uzimajući u obzir uslov $u \geqslant 0$ (jer je $u = \sqrt[4]{x}$ ), dobijamo:

0 \leqslant u \leqslant 2

Vraćamo smenu $u = \sqrt[4]{x} :$

0 \leqslant \sqrt[4]{x} \leqslant 2

Stepenujemo nejednakost na četvrti stepen. Pošto su sve vrednosti nenegativne, znak se ne menja:

0^4 \leqslant x \leqslant 2^4

Konačno rešenje nejednačine je:

x \in [0, 16]

491.z