3362. Deljivost celih brojeva

TEKST ZADATKA

Dokazati da je broj $9^{44} + 4^{99}$ deljiv sa 5.

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali deljivost sa 5, pokazujemo da se dati izraz može zapisati u obliku $5q ,$ gde je $q$ ceo broj. Koristimo osobine ostatka pri deljenju.

Zapisujemo osnove stepena, brojeve 9 i 4, preko umnožaka broja 5:

9 = 10 - 1 = 5 \cdot 2 - 1 \\ 4 = 5 \cdot 1 - 1

Znamo da ostatak proizvoda pri deljenju nekim brojem zavisi samo od proizvoda ostataka činilaca. Zato ostatak stepena oblika $(5k - 1)^n$ pri deljenju sa 5 zavisi samo od člana $(-1)^n .$

Primenjujemo ovo pravilo na prvi sabirak, $9^{44} .$ Njegov ostatak pri deljenju sa 5 jednak je vrednosti $(-1)^{44} .$

(-1)^{44} = 1

Pošto je ostatak 1, broj $9^{44}$ možemo zapisati u obliku:

9^{44} = 5a + 1

Primenjujemo isto pravilo na drugi sabirak, $4^{99} .$ Njegov ostatak pri deljenju sa 5 jednak je vrednosti $(-1)^{99} .$

(-1)^{99} = -1

Pošto je ostatak -1, broj $4^{99}$ možemo zapisati u obliku:

4^{99} = 5b - 1

Sabiramo dobijene izraze za $9^{44}$ i $4^{99} :$

9^{44} + 4^{99} = (5a + 1) + (5b - 1)

Oslobađamo se zagrada i uprošćavamo izraz:

9^{44} + 4^{99} = 5a + 1 + 5b - 1 = 5a + 5b

Izdvajamo zajednički činilac 5 ispred zagrade:

9^{44} + 4^{99} = 5(a + b)

Uvodimo smenu $q = a + b .$ Pošto su $a$ i $b$ celi brojevi, i njihov zbir $q$ je takođe ceo broj. Zamenom dobijamo:

9^{44} + 4^{99} = 5q

Pošto smo dati izraz zapisali u obliku $5q ,$ na osnovu definicije deljivosti zaključujemo da je broj deljiv sa 5, čime je dokaz završen.

170