336.v

Neka su date dve ravni $\alpha$ i $\beta .$ Ako se ove dve ravni poklapaju ($\alpha = \beta$), tada bilo koja ravan koja seče jednu, seče i drugu. Zato ćemo u daljem dokazu pretpostaviti da su ravni $\alpha$ i $\beta$ različite.

Izaberimo tačku $A$ koja pripada ravni $\alpha ,$ ali ne pripada ravni $\beta$ ($A \in \alpha \setminus \beta$). Zatim izaberimo tačku $B$ koja pripada ravni $\beta ,$ ali ne pripada ravni $\alpha$ ($B \in \beta \setminus \alpha$).

Ovakve tačke uvek postoje jer su ravni $\alpha$ i $\beta$ različite. Na osnovu Aksiome 2, svake dve različite tačke određuju jednu pravu. Neka tačke $A$ i $B$ određuju pravu koju ćemo obeležiti sa $p .$

Prava $p$ prodire ravan $\alpha$ u tački $A$ i ravan $\beta$ u tački $B .$

Sada, izaberimo tačku $C$ koja ne pripada pravoj $p ,$ niti pripada ravni $\alpha ,$ niti ravni $\beta .$ Takva tačka sigurno postoji jer na osnovu Aksiome 4 postoje četiri nekomplanarne tačke, što znači da prostor sadrži tačke van bilo koje dve zadate ravni.

Tačke $A ,$ $B$ i $C$ su nekolinearne (jer $C \notin p$), pa na osnovu Aksiome 3 one određuju jedinstvenu ravan. Obeležimo tu novu ravan sa $\gamma .$

Ravan $\gamma$ sadrži tačku $A$ koja pripada ravni $\alpha .$ Pošto ravan $\gamma$ sadrži i tačku $C$ koja ne pripada ravni $\alpha ,$ zaključujemo da su ravni $\alpha$ i $\gamma$ različite.

Na osnovu Aksiome 6, ako dve različite ravni ($\alpha$ i $\gamma$) imaju jednu zajedničku tačku ($A$), onda one imaju tačno jednu zajedničku pravu. Dakle, ravan $\gamma$ seče ravan $\alpha .$

Slično tome, ravan $\gamma$ sadrži tačku $B$ koja pripada ravni $\beta .$ Kako $C \in \gamma$ i $C \notin \beta ,$ ravni $\beta$ i $\gamma$ su takođe različite.

Ponovo, na osnovu Aksiome 6, ravni $\beta$ i $\gamma$ imaju zajedničku tačku $B ,$ pa se one seku po jednoj pravoj. Time smo dokazali da ravan $\gamma$ seče obe ravni, $\alpha$ i $\beta .$

Za skicu ovog problema: nacrtajte dve ravni $\alpha$ i $\beta$ (mogu biti paralelne ili se mogu seći). Zatim nacrtajte pravu koja ih probija u tačkama $A$ i $B .$ Na kraju, nacrtajte ravan $\gamma$ koja sadrži tu pravu i neku tačku $C$ van obe ravni, tako da se jasno vide presečne prave ravni $\gamma$ sa ravnima $\alpha$ i $\beta .$