2444.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Izračunati cos⁡(α+β), \cos(\alpha + \beta) , ako je tgα=−247, \text{tg} \alpha = -\frac{24}{7} , tgβ=158, \text{tg} \beta = \frac{15}{8} , uz uslove α∈(π2,π) \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) i β∈(π,3u2). \beta \in \left(\pi, \frac{3 u}{2}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo koristimo adicionu formulu za kosinus zbira:

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

Da bismo odredili vrednosti sin⁡α \sin \alpha i cos⁡α, \cos \alpha , koristimo vezu između tangensa i kosinusa: 1+tg2α=1cos⁡2α. 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} .

cos⁡2α=11+tg2α=11+(−247)2=11+57649=49625\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{24}{7}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{576}{49}} = \frac{49}{625}

Kako je α∈(π2,π) \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) (drugi kvadrant), kosinus je negativan:

cos⁡α=−49625=−725\cos \alpha = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25}

Sada računamo sin⁡α \sin \alpha koristeći sin⁡α=tgα⋅cos⁡α: \sin \alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos \alpha :

sin⁡α=(−247)⋅(−725)=2425\sin \alpha = \left(-\frac{24}{7}\right) \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{24}{25}

Slično, računamo cos⁡β \cos \beta koristeći 1+tg2β=1cos⁡2β: 1 + \text{tg}^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} :

cos⁡2β=11+(158)2=11+22564=64289\cos^2 \beta = \frac{1}{1 + \left(\frac{15}{8}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{225}{64}} = \frac{64}{289}

Kako je β∈(π,3π2) \beta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) (treći kvadrant), kosinus je negativan:

cos⁡β=−64289=−817\cos \beta = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17}

Sada računamo sin⁡β \sin \beta koristeći sin⁡β=tgβ⋅cos⁡β: \sin \beta = \text{tg} \beta \cdot \cos \beta :

sin⁡β=158⋅(−817)=−1517\sin \beta = \frac{15}{8} \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = -\frac{15}{17}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u adicionu formulu:

cos⁡(α+β)=(−725)⋅(−817)−2425⋅(−1517)\cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{7}{25}\right) \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) - \frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right)

Računamo finalni rezultat izvlačenjem zajedničkog faktora u imeniocu:

cos⁡(α+β)=56425+360425=416425\cos(\alpha + \beta) = \frac{56}{425} + \frac{360}{425} = \frac{416}{425}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti