2949.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: ∣sin⁡x∣>12. |\sin x| > \frac{1}{2}.

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

∣sin⁡x∣={sin⁡x,za sin⁡x≥0−sin⁡x,za sin⁡x<0|\sin x| = \begin{cases} \sin x, & \text{za } \sin x \ge 0 \\ -\sin x, & \text{za } \sin x < 0 \end{cases}

Na osnovu osobina apsolutne vrednosti, data nejednačina se svodi na uniju dve jednostavnije trigonometrijske nejednačine:

sin⁡x>12∨sin⁡x<−12\sin x > \frac{1}{2} \quad \lor \quad \sin x < -\frac{1}{2}

Rešavamo prvu nejednačinu sin⁡x>12. \sin x > \frac{1}{2} . Na trigonometrijskoj kružnici, vrednosti sinusa su veće od 12 \frac{1}{2} u prvom i drugom kvadrantu, između uglova π6 \frac{\pi}{6} i 5π6. \frac{5\pi}{6} .

x∈(π6+2kπ,5π6+2kπ),k∈Zx \in \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Zatim rešavamo drugu nejednačinu sin⁡x<−12. \sin x < -\frac{1}{2} . Vrednosti sinusa su manje od −12 -\frac{1}{2} u trećem i četvrtom kvadrantu, između uglova 7π6 \frac{7\pi}{6} i 11π6. \frac{11\pi}{6} .

x∈(7π6+2kπ,11π6+2kπ),k∈Zx \in \left( \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Ukupno rešenje je unija rešenja ove dve nejednačine:

x∈(π6+2kπ,5π6+2kπ)∪(7π6+2kπ,11π6+2kπ),k∈Zx \in \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right) \cup \left( \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Primećujemo da se intervali razlikuju tačno za π \pi (polovinu punog kruga), pa rešenje možemo zapisati u kompaktnijem obliku dodavanjem perioda kπ k\pi umesto 2kπ. 2k\pi .

x∈(π6+kπ,5π6+kπ),k∈Zx \in \left( \frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti