2903.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 953-956):

2sin⁡2x−5sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2x=02 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0
REŠENJE ZADATKA

Data jednačina je homogena trigonometrijska jednačina drugog stepena. Prvo proveravamo da li je cos⁡x=0 \cos x = 0 rešenje jednačine. Ako je cos⁡x=0, \cos x = 0 , tada je sin⁡2x=1, \sin^2 x = 1 , pa zamenom u jednačinu dobijamo 2(1)−0+0=2≠0. 2(1) - 0 + 0 = 2 \neq 0 . Zaključujemo da cos⁡x≠0. \cos x \neq 0 .

Pošto je cos⁡x≠0, \cos x \neq 0 , možemo podeliti celu jednačinu sa cos⁡2x. \cos^2 x .

2sin⁡2xcos⁡2x−5sin⁡xcos⁡xcos⁡2x+3cos⁡2xcos⁡2x=0\frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0

Koristeći identitet tan⁡x=sin⁡xcos⁡x, \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} , jednačina postaje:

2tan⁡2x−5tan⁡x+3=02 \tan^2 x - 5 \tan x + 3 = 0

Uvodimo smenu t=tan⁡x t = \tan x i dobijamo kvadratnu jednačinu:

2t2−5t+3=02t^2 - 5t + 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=−(−5)±(−5)2−4⋅2⋅32⋅2=5±25−244=5±14t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}

Rešenja kvadratne jednačine su:

t1=64=32,t2=44=1t_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{4}{4} = 1

Vraćamo smenu za prvo rešenje t1=32: t_1 = \frac{3}{2} :

tan⁡x=32  ⟹  x=arctan⁡(32)+kπ,k∈Z\tan x = \frac{3}{2} \implies x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugo rešenje t2=1: t_2 = 1 :

tan⁡x=1  ⟹  x=π4+kπ,k∈Z\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje jednačine je unija dobijenih rešenja:

x∈{arctan⁡(32)+kπ,π4+kπ∣k∈Z}x \in \left\{ \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti