2877.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 928-945): sin⁡3xsin⁡2x=sin⁡11xsin⁡10x. \sin 3x \sin 2x = \sin 11x \sin 10x .

REŠENJE ZADATKA

Koristimo trigonometrijsku formulu za pretvaranje proizvoda u zbir: sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]. \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] .

Primenjujemo formulu na levu i desnu stranu jednačine:

12[cos⁡(3x−2x)−cos⁡(3x+2x)]=12[cos⁡(11x−10x)−cos⁡(11x+10x)]\frac{1}{2}[\cos(3x - 2x) - \cos(3x + 2x)] = \frac{1}{2}[\cos(11x - 10x) - \cos(11x + 10x)]

Pojednostavljujemo izraze u zagradama:

12(cos⁡x−cos⁡5x)=12(cos⁡x−cos⁡21x)\frac{1}{2}(\cos x - \cos 5x) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 21x)

Množimo celu jednačinu sa 2 2 i skraćujemo cos⁡x \cos x sa obe strane:

−cos⁡5x=−cos⁡21x-\cos 5x = -\cos 21x

Množimo sa −1 -1 i prebacujemo sve na jednu stranu:

cos⁡21x−cos⁡5x=0\cos 21x - \cos 5x = 0

Koristimo formulu za razliku kosinusa: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2. \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} .

−2sin⁡21x+5x2sin⁡21x−5x2=0-2 \sin\frac{21x + 5x}{2} \sin\frac{21x - 5x}{2} = 0

Pojednostavljujemo argumente sinusa:

−2sin⁡13xsin⁡8x=0-2 \sin 13x \sin 8x = 0

Delimo sa −2: -2 :

sin⁡13xsin⁡8x=0\sin 13x \sin 8x = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Imamo dva slučaja:

sin⁡13x=0∨sin⁡8x=0\sin 13x = 0 \quad \lor \quad \sin 8x = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

13x=kπ  ⟹  x=kπ13,k∈Z13x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{13}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

8x=mπ  ⟹  x=mπ8,m∈Z8x = m\pi \implies x = \frac{m\pi}{8}, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija ova dva skupa rešenja:

x∈{kπ13∣k∈Z}∪{mπ8∣m∈Z}x \in \left\{ \frac{k\pi}{13} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{m\pi}{8} \mid m \in \mathbb{Z} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti