2875. Trigonometrijske jednačine

Koristimo formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla:

\begin{aligned} \sin 2x &= 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x &= 1 - 2 \sin^2 x \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u početnu jednačinu:

2 \sin x \cos x + 1 - 2 \sin^2 x = 1 + \sqrt{6} \sin x

Oduzimamo $1$ sa obe strane i prebacujemo sve članove na levu stranu:

2 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x - \sqrt{6} \sin x = 0

Izvlačimo zajednički faktor $\sin x :$

\sin x (2 \cos x - 2 \sin x - \sqrt{6}) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dva slučaja:

\sin x = 0 \quad \lor \quad 2 \cos x - 2 \sin x - \sqrt{6} = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

\sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

2 \cos x - 2 \sin x = \sqrt{6}

Delimo jednačinu sa $2 :$

\cos x - \sin x = \frac{\sqrt{6}}{2}

Množimo jednačinu sa $\frac{\sqrt{2}}{2}$ kako bismo iskoristili adicionu formulu:

\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{12}}{4}

Prepoznajemo da je $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ,$ a desnu stranu pojednostavljujemo:

\cos \frac{\pi}{4} \cos x - \sin \frac{\pi}{4} \sin x = \frac{2\sqrt{3}}{4}

Primenjujemo formulu za kosinus zbira $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta :$

\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Izražavamo $x :$

x = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + 2m\pi

Razdvajamo na dva rešenja. Prvo rešenje (za znak plus):

x_1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2m\pi = -\frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2m\pi = -\frac{\pi}{12} + 2m\pi

Drugo rešenje (za znak minus):

x_2 = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2m\pi = -\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2m\pi = -\frac{5\pi}{12} + 2m\pi

Konačno rešenje je unija svih dobijenih rešenja:

x \in \left\{ k\pi, -\frac{\pi}{12} + 2m\pi, -\frac{5\pi}{12} + 2m\pi \mid k, m \in \mathbb{Z} \right\}

2875.Trigonometrijske jednačine