2843. Trigonometrijske jednačine

Primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$ na izraz $\cos \frac{x}{3} :$

\cos \frac{x}{3} = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{6}

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu jednačinu:

1 - 2 \sin \frac{x}{6} = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{6}

Sređujemo jednačinu tako što oduzimamo 1 sa obe strane i delimo sa -2:

\sin \frac{x}{6} = \sin^2 \frac{x}{6}

Prebacujemo sve članove na jednu stranu:

\sin^2 \frac{x}{6} - \sin \frac{x}{6} = 0

Izvlačimo zajednički činilac $\sin \frac{x}{6}$ ispred zagrade:

\sin \frac{x}{6} \left( \sin \frac{x}{6} - 1 \right) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

\sin \frac{x}{6} = 0 \quad \lor \quad \sin \frac{x}{6} - 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

\sin \frac{x}{6} = 0 \implies \frac{x}{6} = k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Množenjem sa 6 dobijamo prvo rešenje:

x = 6k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

\sin \frac{x}{6} = 1 \implies \frac{x}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Množenjem sa 6 dobijamo drugo rešenje:

x = 3\pi + 12k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Konačna rešenja jednačine su:

x_1 = 6k\pi, \quad x_2 = 3\pi + 12k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

2843.Trigonometrijske jednačine