2830.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu: 2sin⁡∣2x−π3∣=3 2 \sin \left|2x - \frac{\pi}{3}\right| = \sqrt{3}

2sin⁡∣2x−π3∣=32 \sin \left|2x - \frac{\pi}{3}\right| = \sqrt{3}
REŠENJE ZADATKA

Deljenjem jednačine sa 2 dobijamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

sin⁡∣2x−π3∣=32\sin \left|2x - \frac{\pi}{3}\right| = \frac{\sqrt{3}}{2}

Definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću u posebnom koraku.

∣2x−π3∣={2x−π3,za 2x−π3≥0−(2x−π3),za 2x−π3<0\left|2x - \frac{\pi}{3}\right| = \begin{cases} 2x - \frac{\pi}{3}, & \text{za } 2x - \frac{\pi}{3} \ge 0 \\ -\left(2x - \frac{\pi}{3}\right), & \text{za } 2x - \frac{\pi}{3} < 0 \end{cases}

Prvi slučaj: kada je 2x−π3≥0, 2x - \frac{\pi}{3} \ge 0 , apsolutna vrednost ostaje nepromenjena.

sin⁡(2x−π3)=32\sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Rešenja ove osnovne trigonometrijske jednačine su:

2x−π3=π3+2kπ∨2x−π3=2π3+2kπ,k∈Z2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \lor \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Računamo x x iz prve grane rešenja.

2x=2π3+2kπ  ⟹  x=π3+kπ2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi

Računamo x x iz druge grane rešenja.

2x=π+2kπ  ⟹  x=π2+kπ2x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi

Proveravamo uslov 2x−π3≥0 2x - \frac{\pi}{3} \ge 0 za dobijena rešenja. Izrazi π3+2kπ \frac{\pi}{3} + 2k\pi i 2π3+2kπ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi moraju biti nenegativni, što važi za cele brojeve k≥0. k \ge 0 .

x∈{π3+kπ,π2+kπ},k∈Z,k≥0x \in \left\{ \frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}, \quad k \in \mathbf{Z}, k \ge 0

Drugi slučaj: kada je 2x−π3<0, 2x - \frac{\pi}{3} < 0 , apsolutna vrednost menja znak.

sin⁡(−(2x−π3))=32\sin \left(-\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Koristeći neparnost sinusne funkcije sin⁡(−α)=−sin⁡α, \sin(-\alpha) = -\sin\alpha , jednačina postaje:

−sin⁡(2x−π3)=32  ⟹  sin⁡(2x−π3)=−32-\sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Rešenja ove trigonometrijske jednačine su:

2x−π3=−π3+2mπ∨2x−π3=4π3+2mπ,m∈Z2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi \quad \lor \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Računamo x x iz prve grane rešenja drugog slučaja.

2x=2mπ  ⟹  x=mπ2x = 2m\pi \implies x = m\pi

Računamo x x iz druge grane rešenja drugog slučaja.

2x=5π3+2mπ  ⟹  x=5π6+mπ2x = \frac{5\pi}{3} + 2m\pi \implies x = \frac{5\pi}{6} + m\pi

Proveravamo uslov 2x−π3<0 2x - \frac{\pi}{3} < 0 za dobijena rešenja. Izrazi −π3+2mπ -\frac{\pi}{3} + 2m\pi i 4π3+2mπ \frac{4\pi}{3} + 2m\pi moraju biti negativni.

−π3+2mπ<0  ⟹  m<16  ⟹  m≤0i4π3+2mπ<0  ⟹  m<−23  ⟹  m≤−1-\frac{\pi}{3} + 2m\pi < 0 \implies m < \frac{1}{6} \implies m \le 0 \quad \text{i} \quad \frac{4\pi}{3} + 2m\pi < 0 \implies m < -\frac{2}{3} \implies m \le -1

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x∈{π3+kπ,π2+kπ∣k∈Z,k≥0}∪{mπ∣m∈Z,m≤0}∪{5π6+mπ∣m∈Z,m≤−1}x \in \left\{ \frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbf{Z}, k \ge 0 \right\} \cup \left\{ m\pi \mid m \in \mathbf{Z}, m \le 0 \right\} \cup \left\{ \frac{5\pi}{6} + m\pi \mid m \in \mathbf{Z}, m \le -1 \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti