2818.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

cos⁡2x=12\cos^2 x = \frac{1}{2}
REŠENJE ZADATKA

Korenovanjem obe strane jednačine dobijamo izraz sa apsolutnom vrednošću:

∣cos⁡x∣=12|\cos x| = \frac{1}{\sqrt{2}}

Po pravilu za apsolutnu vrednost, definišemo izraz:

∣cos⁡x∣={cos⁡x,za cos⁡x≥0−cos⁡x,za cos⁡x<0|\cos x| = \begin{cases} \cos x, & \text{za } \cos x \ge 0 \\ -\cos x, & \text{za } \cos x < 0 \end{cases}

Racionališemo desnu stranu jednačine množenjem sa 22: \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} :

∣cos⁡x∣=22|\cos x| = \frac{\sqrt{2}}{2}

Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, jednačina se svodi na dva odvojena slučaja:

cos⁡x=22∨cos⁡x=−22\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \lor \quad \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Rešavamo prvi slučaj, kada je kosinus pozitivan:

cos⁡x=22\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Primenom opšte formule za rešavanje jednačine cos⁡x=a, \cos x = a , dobijamo prvo rešenje:

x=±π4+2kπ,k∈Zx = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Zatim rešavamo drugi slučaj, kada je kosinus negativan:

cos⁡x=−22\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Primenom opšte formule dobijamo drugo rešenje:

x=±3π4+2mπ,m∈Zx = \pm \frac{3\pi}{4} + 2m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Prikazom ovih rešenja na trigonometrijskoj kružnici primećujemo da se tačke ponavljaju na svakih π2. \frac{\pi}{2} . Zato sva rešenja možemo objediniti u jedan opšti zapis:

x=π4+nπ2,n∈Zx = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti