889.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

4cos⁡2x−(23+2)cos⁡x+3<04\cos^2x-(2\sqrt3+2)\cos x+\sqrt3<0
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu cos⁡x=t.\cos x=t.

4t2−(23+2)t+3<04t^2-(2\sqrt3+2)t+\sqrt3<0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

4t2−(23+2)t+3=04t^2-(2\sqrt3+2)t+\sqrt3=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=4,a=4, b=−23−2b=-2\sqrt3-2 i c=3c=\sqrt3

t1,2=23+2±(−23−2)2−4⋅4⋅32⋅4  ⟹  t1=12,t2=32t_{1,2}=\frac {2\sqrt3+2\pm\sqrt{(-2\sqrt3-2)^2-4\cdot4\cdot\sqrt3}} {2\cdot4} \implies t_1=\frac12, \quad t_2=\frac{\sqrt3}2

Rastaviti nejednačinu po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratne jednačine t1t_1 i t2.t_2.

4(t−12)(t−32)<04(t-\frac12)(t-\frac{\sqrt3}2)<0
t∈(−∞,12)t\in(-\infty,\frac12)
t∈(12,32)t\in(\frac12,\frac{\sqrt3}2)
t∈(32,∞)t\in(\frac{\sqrt3}2, \infty)
t−12t-\frac12
−-
++
++
t−32t-\frac{\sqrt3}2
−-
−-
++
(t−12)(t−32)(t-\frac12)(t-\frac{\sqrt3}2)
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t∈(12, 32)t\in\bigg(\frac12,\ \frac{\sqrt3}2\bigg)

Vratiti cos⁡x\cos x umesto smene t:t:

cos⁡x∈(12, 32)\cos x\in\bigg(\frac12,\ \frac{\sqrt3}2\bigg)

Rešenje nejednačine je:

x∈(−π3+2kπ,−π6+2kπ) ∪ (π6+2kπ,π3+2kπ),k∈Zx\in\bigg(-\frac{\pi}3+2k\pi,-\frac{\pi}6+2k\pi\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{\pi}6+2k\pi, \frac{\pi}3+2k\pi\bigg), \quad k\in\mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti