3953.

598.b

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz: (x2−x+1)(x+1)−(x2−1)2−(x2+x+1)(x−1) (x^2 - x + 1)(x + 1) - (x^2 - 1)^2 - (x^2 + x + 1)(x - 1)

(x2−x+1)(x+1)−(x2−1)2−(x2+x+1)(x−1)(x^2 - x + 1)(x + 1) - (x^2 - 1)^2 - (x^2 + x + 1)(x - 1)
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da su prvi i treći deo izraza zapravo formule za zbir i razliku kubova: (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3 (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 i (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3. (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 . Primenjujemo ove formule.

(x+1)(x2−x+1)=x3+13=x3+1(x−1)(x2+x+1)=x3−13=x3−1(x+1)(x^2-x+1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 \\ (x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1

Srednji deo izraza je kvadrat binoma. Računamo (x2−1)2 (x^2 - 1)^2 koristeći formulu (a−b)2=a2−2ab+b2. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 .

(x2−1)2=(x2)2−2⋅x2⋅1+12=x4−2x2+1(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1

Sada zamenjujemo dobijene rezultate u početni izraz. Vodimo računa o znacima ispred zagrada.

(x3+1)−(x4−2x2+1)−(x3−1)(x^3 + 1) - (x^4 - 2x^2 + 1) - (x^3 - 1)

Oslobađamo se zagrada. Minus ispred zagrade menja znak svakom članu unutar zagrade.

x3+1−x4+2x2−1−x3+1x^3 + 1 - x^4 + 2x^2 - 1 - x^3 + 1

Sređujemo izraz sabiranjem i oduzimanjem sličnih članova. Primetimo da se x3 x^3 i −x3 -x^3 potiru, kao i 1 1 i −1. -1 .

−x4+2x2+1-x^4 + 2x^2 + 1