2683.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz 1−sin⁡2α−sin⁡2β+2sin⁡αsin⁡βcos⁡(α−β). 1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha - \beta) .

1−sin⁡2α−sin⁡2β+2sin⁡αsin⁡βcos⁡(α−β)1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha - \beta)
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda sinusa u zbir na deo izraza 2sin⁡αsin⁡β. 2 \sin \alpha \sin \beta .

2sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)

Zamenjujemo dobijeni izraz u početni zadatak.

1−sin⁡2α−sin⁡2β+(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))cos⁡(α−β)1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \cos(\alpha - \beta)

Množimo zagradu sa cos⁡(α−β). \cos(\alpha - \beta) .

1−sin⁡2α−sin⁡2β+cos⁡2(α−β)−cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + \cos^2(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)

Grupišemo prva dva člana i koristimo osnovni trigonometrijski identitet 1−sin⁡2α=cos⁡2α. 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha .

cos⁡2α−sin⁡2β+cos⁡2(α−β)−cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta + \cos^2(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)

Sada ćemo uprostiti proizvod cos⁡(α+β)cos⁡(α−β) \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) koristeći adicione formule za kosinus zbira i razlike.

cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)

Prepoznajemo razliku kvadrata i primenjujemo je.

(cos⁡αcos⁡β)2−(sin⁡αsin⁡β)2=cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β(\cos \alpha \cos \beta)^2 - (\sin \alpha \sin \beta)^2 = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Izražavamo cos⁡2β \cos^2 \beta kao 1−sin⁡2β 1 - \sin^2 \beta i sin⁡2α \sin^2 \alpha kao 1−cos⁡2α 1 - \cos^2 \alpha kako bismo sve sveli na iste funkcije.

cos⁡2α(1−sin⁡2β)−(1−cos⁡2α)sin⁡2β\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) - (1 - \cos^2 \alpha) \sin^2 \beta

Množimo članove i skraćujemo suprotne vrednosti.

cos⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β−sin⁡2β+cos⁡2αsin⁡2β=cos⁡2α−sin⁡2β\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta

Zamenjujemo ovaj rezultat nazad u izraz iz koraka 4.

(cos⁡2α−sin⁡2β)+cos⁡2(α−β)−(cos⁡2α−sin⁡2β)(\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta) + \cos^2(\alpha - \beta) - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta)

Skraćujemo suprotne članove i dobijamo konačan, uprošćen rezultat.

cos⁡2(α−β)\cos^2(\alpha - \beta)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti