2649.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

sin⁡α−2sin⁡2α+sin⁡3αcos⁡α−2cos⁡2α+cos⁡3α=tg 2α\frac{\sin \alpha - 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha - 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \text{tg } 2\alpha
REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane identiteta. Prvo ćemo grupisati prvi i treći član u brojiocu i imeniocu kako bismo primenili formule za transformaciju zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod.

L=(sin⁡3α+sin⁡α)−2sin⁡2α(cos⁡3α+cos⁡α)−2cos⁡2αL = \frac{(\sin 3\alpha + \sin \alpha) - 2 \sin 2\alpha}{(\cos 3\alpha + \cos \alpha) - 2 \cos 2\alpha}

Primenjujemo formulu za zbir sinusa sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2 \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} na izraz sin⁡3α+sin⁡α \sin 3\alpha + \sin \alpha u brojiocu.

sin⁡3α+sin⁡α=2sin⁡3α+α2cos⁡3α−α2=2sin⁡2αcos⁡α\sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2 \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} na izraz cos⁡3α+cos⁡α \cos 3\alpha + \cos \alpha u imeniocu.

cos⁡3α+cos⁡α=2cos⁡3α+α2cos⁡3α−α2=2cos⁡2αcos⁡α\cos 3\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha

Zamenjujemo dobijene rezultate nazad u izraz za levu stranu L. L .

L=2sin⁡2αcos⁡α−2sin⁡2α2cos⁡2αcos⁡α−2cos⁡2αL = \frac{2 \sin 2\alpha \cos \alpha - 2 \sin 2\alpha}{2 \cos 2\alpha \cos \alpha - 2 \cos 2\alpha}

U brojiocu izvlačimo zajednički faktor 2sin⁡2α, 2 \sin 2\alpha , a u imeniocu izvlačimo 2cos⁡2α. 2 \cos 2\alpha .

L=2sin⁡2α(cos⁡α−1)2cos⁡2α(cos⁡α−1)L = \frac{2 \sin 2\alpha (\cos \alpha - 1)}{2 \cos 2\alpha (\cos \alpha - 1)}

Skraćujemo razlomak zajedničkim faktorima 2 2 i (cos⁡α−1), (\cos \alpha - 1) , uz uslov da je cos⁡α≠1. \cos \alpha \neq 1 .

L=sin⁡2αcos⁡2αL = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}

Koristeći definiciju tangensa tg x=sin⁡xcos⁡x, \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} , dobijamo krajnji rezultat koji odgovara desnoj strani identiteta.

L=tg 2α=DL = \text{tg } 2\alpha = D

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti