24.

Uvodni zadatak 9

TEKST ZADATKA

Odredit integral:

∫ctg⁡2(x) dx\int{\ctg^2(x) \ dx}
REŠENJE ZADATKA

Kotangens se rastavlja preko sinusa i kosinusa

∫cos⁡2(x)sin⁡2(x)dx \int{\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}dx} \,

Primenjuje se osnovni identitet trigonometrijskih funkcija: sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1 \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1

∫1−sin⁡2(x)sin⁡2(x)dx \int{\frac{1 - \sin^2(x)}{\sin^2(x)}dx} \,

Suma i razlika pod integralom se razdvajaju prema pravilu: ∫f(x)±g(x)=∫f(x)dx±∫g(x)dx \int{f(x) \pm g(x) } = \int{f(x)dx \pm \int{g(x)dx}}

∫1sin⁡2(x)dx +∫sin⁡2(x)sin⁡2(x)dx =∫1sin⁡2(x)dx +∫dx \int{\frac{1}{\sin^2(x)}dx} \, + \int{\frac{\cancel{\sin^2(x)}}{\cancel{\sin^2(x)} }dx} \, = \int{\frac{1}{\sin^2(x)}dx} \, + \int{dx} \,

Primenjuju se tablični integrali: ∫1sin⁡2(x)dx =−ctg⁡(x)+C,x=/ 2kπ,∫dx =x+C \int{\frac{1}{\sin^2(x)}dx} \, = - \ctg(x) + C, x {=}\mathllap{/\,} 2k\pi, \int{dx} \, = x + C

−ctg⁡(x)−x+C-\ctg(x) - x + C