Podeli

1218.
Stepen sa racionalnim izložiocem

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali dati identitet, uprostićemo svaki od tri razlomka sa leve strane jednačine pojedinačno.

Prvi razlomak uprošćavamo tako što njegov brojilac i imenilac pomnožimo sa $x^{\frac{1}{3}}$ kako bismo eliminisali negativan izložilac:

\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}}}{(x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}) \cdot x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}} = \frac{x^1}{x^1 - x^0} = \frac{x}{x - 1}

Drugi razlomak možemo uprostiti tako što u imeniocu izvučemo $x^{\frac{1}{3}}$ ispred zagrade kao zajednički činilac i zatim skratimo razlomak:

\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}(x^1 - 1)} = \frac{x^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{x - 1} = \frac{x^1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}

Treći razlomak uprošćavamo množenjem brojioca i imenioca sa $x^{\frac{2}{3}} :$

\frac{2x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}}}{(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{2}{3}}) \cdot x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - x^{-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}} = \frac{2x^1}{x^1 - x^0} = \frac{2x}{x - 1}

Sada, zamenjujemo dobijene uprošćene oblike razlomaka nazad u početni izraz sa leve strane:

\frac{x}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} - \frac{2x}{x - 1}

Pošto svi razlomci imaju isti imenilac, lako računamo njihov zbir i razliku spajanjem pod jednu razlomačku crtu:

\frac{x + x - 2x}{x - 1} = \frac{2x - 2x}{x - 1} = \frac{0}{x - 1} = 0

Dobili smo rezultat 0, čime je identitet uspešno dokazan za sve vrednosti $x \neq 0$ i $x \neq 1 .$

1218.Stepen sa racionalnim izložiocem