1219.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet za x⩾0 x \geqslant 0 i x≠1: x \neq 1 :

1+x1/21+x1/2+x:1x3/2−1=x−1\frac{1 + x^{1/2}}{1 + x^{1/2} + x} : \frac{1}{x^{3/2} - 1} = x - 1
REŠENJE ZADATKA

Krećemo od leve strane jednakosti. Deljenje razlomkom svodimo na množenje njegovom recipročnom vrednošću.

1+x1/21+x1/2+x⋅(x3/2−1)\frac{1 + x^{1/2}}{1 + x^{1/2} + x} \cdot (x^{3/2} - 1)

Izraz x3/2−1 x^{3/2} - 1 možemo posmatrati kao razliku kubova, jer važi x3/2=(x1/2)3. x^{3/2} = (x^{1/2})^3 . Primenjujemo formulu za razliku kubova: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2). a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) .

x3/2−1=(x1/2)3−13=(x1/2−1)((x1/2)2+x1/2⋅1+12)=(x1/2−1)(x+x1/2+1)x^{3/2} - 1 = (x^{1/2})^3 - 1^3 = (x^{1/2} - 1)((x^{1/2})^2 + x^{1/2} \cdot 1 + 1^2) = (x^{1/2} - 1)(x + x^{1/2} + 1)

Zamenjujemo dobijeni faktorizovan oblik nazad u početni izraz.

1+x1/21+x1/2+x⋅(x1/2−1)(x+x1/2+1)\frac{1 + x^{1/2}}{1 + x^{1/2} + x} \cdot (x^{1/2} - 1)(x + x^{1/2} + 1)

Skraćujemo zajednički izraz 1+x1/2+x 1 + x^{1/2} + x u brojiocu i imeniocu (primenjujući asocijativnost množenja).

(1+x1/2)(x1/2−1)(1 + x^{1/2})(x^{1/2} - 1)

Preostali izraz predstavlja razliku kvadrata. Primenjujemo formulu (a+b)(a−b)=a2−b2 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 i dobijamo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

(x1/2)2−12=x−1(x^{1/2})^2 - 1^2 = x - 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti