Dokaz identiteta sa deljenjem razlomaka i korenom

Krećemo od leve strane jednakosti. Deljenje razlomkom svodimo na množenje njegovom recipročnom vrednošću.

\frac{1 + x^{1/2}}{1 + x^{1/2} + x} \cdot (x^{3/2} - 1)

Izraz $x^{3/2} - 1$ možemo posmatrati kao razliku kubova, jer važi $x^{3/2} = (x^{1/2})^3 .$ Primenjujemo formulu za razliku kubova: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) .$

x^{3/2} - 1 = (x^{1/2})^3 - 1^3 = (x^{1/2} - 1)((x^{1/2})^2 + x^{1/2} \cdot 1 + 1^2) = (x^{1/2} - 1)(x + x^{1/2} + 1)

Zamenjujemo dobijeni faktorizovan oblik nazad u početni izraz.

\frac{1 + x^{1/2}}{1 + x^{1/2} + x} \cdot (x^{1/2} - 1)(x + x^{1/2} + 1)

Skraćujemo zajednički izraz $1 + x^{1/2} + x$ u brojiocu i imeniocu (primenjujući asocijativnost množenja).

(1 + x^{1/2})(x^{1/2} - 1)

Preostali izraz predstavlja razliku kvadrata. Primenjujemo formulu $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ i dobijamo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

(x^{1/2})^2 - 1^2 = x - 1

Započni učenje

Online časovi

66.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci