972.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza (x+x−1):(x−x−1) (x + x^{-1}) : (x - x^{-1}) ako je data vrednost za x: x :

x=2−n+12−n−1x = \frac{2^{-n} + 1}{2^{-n} - 1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati dati izraz koristeći definiciju negativnog stepena x−1=1x. x^{-1} = \frac{1}{x} .

x+1xx−1x=x2+1xx2−1x\frac{x + \frac{1}{x}}{x - \frac{1}{x}} = \frac{\frac{x^2 + 1}{x}}{\frac{x^2 - 1}{x}}

Skraćivanjem imenioca x x u dvojnom razlomku, dobijamo uprošćen oblik izraza koji treba izračunati:

x2+1x2−1\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}

Uvedimo smenu a=2−n a = 2^{-n} kako bismo lakše manipulisali izrazom za x: x :

x=a+1a−1x = \frac{a + 1}{a - 1}

Sada izračunavamo vrednosti za x2+1 x^2 + 1 i x2−1 x^2 - 1 koristeći uvedenu smenu:

x2+1=(a+1a−1)2+1=(a+1)2+(a−1)2(a−1)2x^2 + 1 = \left( \frac{a+1}{a-1} \right)^2 + 1 = \frac{(a+1)^2 + (a-1)^2}{(a-1)^2}

Kvadriramo binome u brojitelju:

a2+2a+1+a2−2a+1(a−1)2=2a2+2(a−1)2=2(a2+1)(a−1)2\frac{a^2 + 2a + 1 + a^2 - 2a + 1}{(a-1)^2} = \frac{2a^2 + 2}{(a-1)^2} = \frac{2(a^2 + 1)}{(a-1)^2}

Slično izračunavamo i imenilac glavnog izraza:

x2−1=(a+1a−1)2−1=(a+1)2−(a−1)2(a−1)2x^2 - 1 = \left( \frac{a+1}{a-1} \right)^2 - 1 = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{(a-1)^2}

Primenom razlike kvadrata ili kvadriranjem binoma dobijamo:

a2+2a+1−(a2−2a+1)(a−1)2=4a(a−1)2\frac{a^2 + 2a + 1 - (a^2 - 2a + 1)}{(a-1)^2} = \frac{4a}{(a-1)^2}

Vratimo dobijene delove u uprošćeni izraz x2+1x2−1: \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} :

2(a2+1)(a−1)24a(a−1)2=2(a2+1)4a=a2+12a\frac{\frac{2(a^2 + 1)}{(a-1)^2}}{\frac{4a}{(a-1)^2}} = \frac{2(a^2 + 1)}{4a} = \frac{a^2 + 1}{2a}

Vratimo smenu a=2−n a = 2^{-n} u dobijeni rezultat:

(2−n)2+12⋅2−n=2−2n+121−n\frac{(2^{-n})^2 + 1}{2 \cdot 2^{-n}} = \frac{2^{-2n} + 1}{2^{1-n}}

Konačan rezultat možemo zapisati i razdvajanjem razlomka:

2−2n21−n+121−n=2−2n−(1−n)+2n−1=2−n−1+2n−1\frac{2^{-2n}}{2^{1-n}} + \frac{1}{2^{1-n}} = 2^{-2n - (1-n)} + 2^{n-1} = 2^{-n-1} + 2^{n-1}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti