970.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet za a≠0 a \neq 0 i a≠±1: a \neq \pm 1 :

2−1(1+an)−1−(1−a−n)−1−(a−2n−1)−1=(2(1−an))−12^{-1}(1 + a^n)^{-1} - (1 - a^{-n})^{-1} - (a^{-2n} - 1)^{-1} = (2(1 - a^n))^{-1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati levu stranu izraza (L) koristeći definiciju negativnog stepena x−1=1x. x^{-1} = \frac{1}{x} .

L=12(1+an)−11−a−n−1a−2n−1L = \frac{1}{2(1 + a^n)} - \frac{1}{1 - a^{-n}} - \frac{1}{a^{-2n} - 1}

Sredimo drugi i treći razlomak tako što ćemo eliminisati negativne stepene u imeniocu množenjem brojioca i imenioca sa an, a^n , odnosno a2n. a^{2n} .

11−a−n=11−1an=anan−1\frac{1}{1 - a^{-n}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{a^n}} = \frac{a^n}{a^n - 1}

Slično transformišemo i treći član izraza:

1a−2n−1=11a2n−1=a2n1−a2n\frac{1}{a^{-2n} - 1} = \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}} - 1} = \frac{a^{2n}}{1 - a^{2n}}

Sada leva strana (L) glasi:

L=12(1+an)−anan−1−a2n1−a2nL = \frac{1}{2(1 + a^n)} - \frac{a^n}{a^n - 1} - \frac{a^{2n}}{1 - a^{2n}}

Primetimo da je 1−a2n=(1−an)(1+an). 1 - a^{2n} = (1 - a^n)(1 + a^n) . Promenićemo znak drugog člana kako bismo imali zajednički imenilac.

L=12(1+an)+an1−an−a2n(1−an)(1+an)L = \frac{1}{2(1 + a^n)} + \frac{a^n}{1 - a^n} - \frac{a^{2n}}{(1 - a^n)(1 + a^n)}

Svedimo sve na zajednički imenilac 2(1−an)(1+an): 2(1 - a^n)(1 + a^n) :

L=(1−an)+2an(1+an)−2a2n2(1−an)(1+an)L = \frac{(1 - a^n) + 2a^n(1 + a^n) - 2a^{2n}}{2(1 - a^n)(1 + a^n)}

Sredimo brojilac:

1−an+2an+2a2n−2a2n=1+an1 - a^n + 2a^n + 2a^{2n} - 2a^{2n} = 1 + a^n

Zamenimo sređeni brojilac u izraz i skratimo sa (1+an): (1 + a^n) :

L=1+an2(1−an)(1+an)=12(1−an)L = \frac{1 + a^n}{2(1 - a^n)(1 + a^n)} = \frac{1}{2(1 - a^n)}

Desna strana originalnog identiteta (D) je takođe:

D=(2(1−an))−1=12(1−an)D = (2(1 - a^n))^{-1} = \frac{1}{2(1 - a^n)}

Pošto je L=D, L = D , identitet je dokazan.

12(1−an)=12(1−an)\frac{1}{2(1 - a^n)} = \frac{1}{2(1 - a^n)}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti