TEKST ZADATKA
Rešiti trougao bez upotrebe računskih pomagala: a = 6 , a = \sqrt{6} , a = 6 , b = 2 3 , b = 2\sqrt{3} , b = 2 3 , c = 3 − 3 c = 3 - \sqrt{3} c = 3 − 3 ;
REŠENJE ZADATKA
Da bismo rešili trougao, potrebno je da odredimo sve njegove uglove: α , \alpha , α , β \beta β i γ . \gamma . γ . Prvo ćemo primeniti kosinusnu teoremu da bismo našli ugao α . \alpha . α .
cos α = b 2 + c 2 − a 2 2 b c \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} cos α = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 Zamenićemo date vrednosti stranica u formulu.
cos α = ( 2 3 ) 2 + ( 3 − 3 ) 2 − ( 6 ) 2 2 ⋅ 2 3 ⋅ ( 3 − 3 ) \cos \alpha = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (3 - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot (3 - \sqrt{3})} cos α = 2 ⋅ 2 3 ⋅ ( 3 − 3 ) ( 2 3 ) 2 + ( 3 − 3 ) 2 − ( 6 ) 2 Računamo kvadrate u brojiocu i proizvod u imeniocu.
cos α = 12 + ( 9 − 6 3 + 3 ) − 6 4 3 ( 3 − 3 ) \cos \alpha = \frac{12 + (9 - 6\sqrt{3} + 3) - 6}{4\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})} cos α = 4 3 ( 3 − 3 ) 12 + ( 9 − 6 3 + 3 ) − 6 Sređujemo izraz u brojiocu i imeniocu.
cos α = 12 + 12 − 6 3 − 6 12 3 − 12 = 18 − 6 3 12 3 − 12 \cos \alpha = \frac{12 + 12 - 6\sqrt{3} - 6}{12\sqrt{3} - 12} = \frac{18 - 6\sqrt{3}}{12\sqrt{3} - 12} cos α = 12 3 − 12 12 + 12 − 6 3 − 6 = 12 3 − 12 18 − 6 3 Izvlačimo zajedničke činioce kako bismo skratili razlomak. U brojiocu izvlačimo 6, a u imeniocu 12.
cos α = 6 ( 3 − 3 ) 12 ( 3 − 1 ) = 3 − 3 2 ( 3 − 1 ) \cos \alpha = \frac{6(3 - \sqrt{3})}{12(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - 1)} cos α = 12 ( 3 − 1 ) 6 ( 3 − 3 ) = 2 ( 3 − 1 ) 3 − 3 Racionališemo imenilac množenjem brojioca i imenioca sa 3 + 1. \sqrt{3} + 1 . 3 + 1.
cos α = 3 − 3 2 ( 3 − 1 ) ⋅ 3 + 1 3 + 1 = 3 3 + 3 − 3 − 3 2 ( 3 − 1 ) = 2 3 4 = 3 2 \cos \alpha = \frac{3 - \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3\sqrt{3} + 3 - 3 - \sqrt{3}}{2(3 - 1)} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} cos α = 2 ( 3 − 1 ) 3 − 3 ⋅ 3 + 1 3 + 1 = 2 ( 3 − 1 ) 3 3 + 3 − 3 − 3 = 4 2 3 = 2 3 Pošto je cos α = 3 2 \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} cos α = 2 3 i ugao pripada intervalu ( 0 ∘ , 180 ∘ ) , (0^\circ, 180^\circ) , ( 0 ∘ , 18 0 ∘ ) , zaključujemo da je ugao α \alpha α jednak 30 ∘ . 30^\circ . 3 0 ∘ .
α = 30 ∘ \alpha = 30^\circ α = 3 0 ∘ Sada koristimo sinusnu teoremu da bismo odredili ugao β . \beta . β .
a sin α = b sin β \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} sin α a = sin β b Zamenjujemo poznate vrednosti u proporciju.
6 sin 30 ∘ = 2 3 sin β \frac{\sqrt{6}}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin \beta} sin 3 0 ∘ 6 = sin β 2 3 Rešavamo jednačinu po sin β , \sin \beta , sin β , znajući da je sin 30 ∘ = 1 2 . \sin 30^\circ = \frac{1}{2} . sin 3 0 ∘ = 2 1 .
6 1 2 = 2 3 sin β ⟹ 2 6 = 2 3 sin β ⟹ sin β = 2 3 2 6 = 1 2 = 2 2 \frac{\sqrt{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin \beta} \implies 2\sqrt{6} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin \beta} \implies \sin \beta = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} 2 1 6 = sin β 2 3 ⟹ 2 6 = sin β 2 3 ⟹ sin β = 2 6 2 3 = 2 1 = 2 2 Jednačina sin β = 2 2 \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} sin β = 2 2 nam daje dva moguća ugla u trouglu: β = 45 ∘ \beta = 45^\circ β = 4 5 ∘ ili β = 135 ∘ . \beta = 135^\circ . β = 13 5 ∘ .
β ∈ { 45 ∘ , 135 ∘ } \beta \in \{45^\circ, 135^\circ\} β ∈ { 4 5 ∘ , 13 5 ∘ } Da bismo odredili koji ugao je tačan, uporedićemo dužine stranica. Naspram najduže stranice nalazi se najveći ugao. Kako je b = 12 , b = \sqrt{12} , b = 12 , a = 6 a = \sqrt{6} a = 6 i c = 9 − 3 < 6 , c = \sqrt{9} - \sqrt{3} < \sqrt{6} , c = 9 − 3 < 6 , važi b > a > c , b > a > c , b > a > c , pa mora biti β > α > γ . \beta > \alpha > \gamma . β > α > γ .
b > a > c ⟹ β > α > γ b > a > c \implies \beta > \alpha > \gamma b > a > c ⟹ β > α > γ Ako bi bilo β = 45 ∘ , \beta = 45^\circ , β = 4 5 ∘ , treći ugao bi bio γ = 180 ∘ − 30 ∘ − 45 ∘ = 105 ∘ . \gamma = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ . γ = 18 0 ∘ − 3 0 ∘ − 4 5 ∘ = 10 5 ∘ . Tada bi γ \gamma γ bio najveći ugao, što je nemoguće jer je c c c najkraća stranica. Zato jedino rešenje ostaje β = 135 ∘ . \beta = 135^\circ . β = 13 5 ∘ .
β = 135 ∘ \beta = 135^\circ β = 13 5 ∘ Na kraju, računamo treći ugao γ \gamma γ koristeći zbir uglova u trouglu.
γ = 180 ∘ − ( α + β ) = 180 ∘ − ( 30 ∘ + 135 ∘ ) = 180 ∘ − 165 ∘ = 15 ∘ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (30^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ γ = 18 0 ∘ − ( α + β ) = 18 0 ∘ − ( 3 0 ∘ + 13 5 ∘ ) = 18 0 ∘ − 16 5 ∘ = 1 5 ∘