1605.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Primenom Vijetovih formula ispitati prirodu i znak rešenja kvadratne jednačine mx2+2(m−6)x+m−3=0, mx^2 + 2(m - 6)x + m - 3 = 0 , m∈R, m \in \mathbf{R} , m≠0. m \neq 0 .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo koeficijente date kvadratne jednačine.

a=m,b=2(m−6),c=m−3a = m, \quad b = 2(m - 6), \quad c = m - 3

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine D=b2−4ac. D = b^2 - 4ac .

D=(2(m−6))2−4⋅m⋅(m−3)D=4(m2−12m+36)−4m2+12mD=4m2−48m+144−4m2+12mD=−36m+144D=−36(m−4)\begin{aligned} D &= (2(m - 6))^2 - 4 \cdot m \cdot (m - 3) \\ D &= 4(m^2 - 12m + 36) - 4m^2 + 12m \\ D &= 4m^2 - 48m + 144 - 4m^2 + 12m \\ D &= -36m + 144 \\ D &= -36(m - 4) \end{aligned}

Zapisujemo Vijetove formule za datu jednačinu. Neka su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja jednačine, tada važi:

x1+x2=−ba=−2(m−6)mx1⋅x2=ca=m−3m\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = -\frac{2(m - 6)}{m} \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = \frac{m - 3}{m} \end{aligned}

Da bismo ispitali prirodu i znak rešenja, analiziramo znak diskriminante D, D , proizvoda rešenja P=x1⋅x2 P = x_1 \cdot x_2 i zbira rešenja S=x1+x2. S = x_1 + x_2 . Određujemo nule ovih izraza kako bismo formirali tabelu znakova.

D=0  ⟹  m=4P=0  ⟹  m=3S=0  ⟹  m=6\begin{aligned} D = 0 &\implies m = 4 \\ P = 0 &\implies m = 3 \\ S = 0 &\implies m = 6 \end{aligned}

Pored nula izraza, prekidna tačka je m=0 m = 0 (zbog imenioca i uslova zadatka). Formiramo tabelu znakova za intervale određene tačkama 0,3,4,6. 0, 3, 4, 6 .

m∈(−∞,0)m \in (-\infty, 0)
m∈(0,3)m \in (0, 3)
m∈(3,4)m \in (3, 4)
m∈(4,6)m \in (4, 6)
m∈(6,+∞)m \in (6, +\infty)
DD
++
++
++
−-
−-
PP
++
−-
++
++
++
SS
−-
++
++
++
−//-//

Na osnovu tabele, analiziramo prvi slučaj kada je m∈(−∞,0). m \in (-\infty, 0) . Diskriminanta je pozitivna, pa su rešenja realna i različita. Proizvod je pozitivan, a zbir negativan.

D>0,P>0,S<0  ⟹  x1<0,x2<0D > 0, \quad P > 0, \quad S < 0 \implies x_1 < 0, \quad x_2 < 0

Analiziramo slučaj kada je m∈(0,3). m \in (0, 3) . Diskriminanta je pozitivna, pa su rešenja realna i različita. Proizvod je negativan, što znači da su rešenja suprotnog znaka.

D>0,P<0  ⟹  x1<0<x2D > 0, \quad P < 0 \implies x_1 < 0 < x_2

Ispitujemo graničnu vrednost m=3. m = 3 . Diskriminanta je pozitivna, proizvod rešenja je nula, a zbir je pozitivan.

D>0,P=0,S>0  ⟹  x1=0,x2>0D > 0, \quad P = 0, \quad S > 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 > 0

Analiziramo slučaj kada je m∈(3,4). m \in (3, 4) . Diskriminanta je pozitivna, pa su rešenja realna i različita. Proizvod i zbir su pozitivni.

D>0,P>0,S>0  ⟹  x1>0,x2>0D > 0, \quad P > 0, \quad S > 0 \implies x_1 > 0, \quad x_2 > 0

Ispitujemo graničnu vrednost m=4. m = 4 . Diskriminanta je jednaka nuli, pa su rešenja realna i jednaka. Zbir i proizvod su pozitivni.

D=0,P>0,S>0  ⟹  x1=x2>0D = 0, \quad P > 0, \quad S > 0 \implies x_1 = x_2 > 0

Analiziramo slučaj kada je m∈(4,+∞). m \in (4, +\infty) . Diskriminanta je negativna, pa jednačina nema realna rešenja, već su rešenja konjugovano kompleksna.

D<0  ⟹  x1,x2∈C,x1=x2‾D < 0 \implies x_1, x_2 \in \mathbf{C}, \quad x_1 = \overline{x_2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti