1476.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U datim jednačinama odrediti realni parametar m m tako da rešenja jednačine zadovoljavaju date relacije (zadaci 181-183):

x2−3mx+m2=0,x12+x22=112x^2 - 3mx + m^2 = 0, \quad x_1^2 + x_2^2 = 112
REŠENJE ZADATKA

Prvo identifikujemo koeficijente date kvadratne jednačine ax2+bx+c=0: ax^2 + bx + c = 0 :

a=1,b=−3m,c=m2a = 1, \quad b = -3m, \quad c = m^2

Koristimo Vijetove formule da izrazimo zbir i proizvod rešenja preko parametra m: m :

{x1+x2=−ba=−−3m1=3mx1⋅x2=ca=m21=m2\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3m}{1} = 3m \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m^2}{1} = m^2 \end{cases}

Transformišemo dati uslov x12+x22=112 x_1^2 + x_2^2 = 112 tako da možemo da upotrebimo Vijetove formule, koristeći identitet za kvadrat binoma (x1+x2)2=x12+2x1x2+x22: (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 :

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula u transformisani uslov:

(3m)2−2(m2)=112(3m)^2 - 2(m^2) = 112

Sređujemo dobijenu jednačinu po parametru m: m :

9m2−2m2=1127m2=1129m^2 - 2m^2 = 112 \\ 7m^2 = 112

Delimo jednačinu sa 7 i korenujemo:

m2=1127m2=16m^2 = \frac{112}{7} \\ m^2 = 16

Rešavamo po m m i dobijamo dve moguće vrednosti:

m=±16m1=4,m2=−4m = \pm \sqrt{16} \\ m_1 = 4, \quad m_2 = -4

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti