3664.

290

TEKST ZADATKA

U jednoj čaši napravljen je sok od vode i sirupa u razmeri 2:1, 2 : 1 , a u drugoj u razmeri 3:2. 3 : 2 . Sok iz obe čaše presut je u prazan sud pri čemu je dobijena razmera vode i sirupa 27:17. 27 : 17 . Koliki je bio odnos količina soka u čašama?

REŠENJE ZADATKA

Neka je V1 V_1 količina soka u prvoj čaši, a V2 V_2 količina soka u drugoj čaši.

U prvoj čaši razmera vode i sirupa je 2:1. 2 : 1 . Primenom pravila za podelu broja u datoj razmeri, dobijamo količinu vode i sirupa u prvoj čaši:

Voda1=22+1V1=23V1Sirup1=12+1V1=13V1\text{Voda}_1 = \frac{2}{2+1} V_1 = \frac{2}{3} V_1 \\ \text{Sirup}_1 = \frac{1}{2+1} V_1 = \frac{1}{3} V_1

U drugoj čaši razmera vode i sirupa je 3:2. 3 : 2 . Slično, dobijamo količinu vode i sirupa u drugoj čaši:

Voda2=33+2V2=35V2Sirup2=23+2V2=25V2\text{Voda}_2 = \frac{3}{3+2} V_2 = \frac{3}{5} V_2 \\ \text{Sirup}_2 = \frac{2}{3+2} V_2 = \frac{2}{5} V_2

Kada se sokovi pomešaju, ukupna količina vode je zbir količina vode iz obe čaše, a ukupna količina sirupa je zbir količina sirupa iz obe čaše:

Ukupna voda=23V1+35V2Ukupni sirup=13V1+25V2\text{Ukupna voda} = \frac{2}{3} V_1 + \frac{3}{5} V_2 \\ \text{Ukupni sirup} = \frac{1}{3} V_1 + \frac{2}{5} V_2

Nova razmera vode i sirupa je 27:17. 27 : 17 . Postavljamo proporciju:

(23V1+35V2):(13V1+25V2)=27:17\left( \frac{2}{3} V_1 + \frac{3}{5} V_2 \right) : \left( \frac{1}{3} V_1 + \frac{2}{5} V_2 \right) = 27 : 17

Rešavamo proporciju množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova:

17⋅(23V1+35V2)=27⋅(13V1+25V2)17 \cdot \left( \frac{2}{3} V_1 + \frac{3}{5} V_2 \right) = 27 \cdot \left( \frac{1}{3} V_1 + \frac{2}{5} V_2 \right)

Množimo zagrade:

343V1+515V2=273V1+545V2\frac{34}{3} V_1 + \frac{51}{5} V_2 = \frac{27}{3} V_1 + \frac{54}{5} V_2

Grupišemo članove uz V1 V_1 na levu stranu, a članove uz V2 V_2 na desnu stranu:

343V1−273V1=545V2−515V2\frac{34}{3} V_1 - \frac{27}{3} V_1 = \frac{54}{5} V_2 - \frac{51}{5} V_2

Oduzimamo razlomke sa istim imeniocima:

73V1=35V2\frac{7}{3} V_1 = \frac{3}{5} V_2

Izražavamo odnos V1:V2: V_1 : V_2 :

V1V2=3573\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{7}{3}}

Računamo dvojni razlomak kako bismo dobili konačan odnos:

V1V2=3⋅35⋅7=935\frac{V_1}{V_2} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{9}{35}

Odnos količina soka u čašama bio je 9:35. 9 : 35 .

V1:V2=9:35V_1 : V_2 = 9 : 35