3054. Potreban i dovoljan uslov

TEKST ZADATKA

Dopuniti rečenicu rečima potrebno, dovoljno ili ekvivalentno: da bi prave bile paralelne, ...... da se ne seku.

REŠENJE ZADATKA

Prvo analiziramo definiciju paralelnih pravih u geometriji. Dve prave u istoj ravni su paralelne ako se ne seku ili ako se poklapaju. Međutim, u širem smislu, uslov da se prave ne seku je ključna karakteristika paralelizma.

Razmotrimo implikacije između tvrđenja $a$ (prave su paralelne) i tvrđenja $b$ (prave se ne seku):

a: p \parallel q \quad b: p \cap q = \emptyset

U euklidskoj geometriji, ako su dve prave u jednoj ravni paralelne i različite, one se ne seku. Dakle, paralelnost je dovoljan uslov da se prave ne seku. Sa druge strane, ako se dve prave u ravni ne seku, one moraju biti paralelne, što znači da je to i potreban uslov.

p \parallel q \iff p \cap q = \emptyset \text{ (za različite prave u ravni)}

Pošto važe oba smera implikacije, koristimo termin 'ekvivalentno'.

\text{Odgovor: ekvivalentno}

Konačna rečenica glasi: Da bi prave bile paralelne, ekvivalentno je da se ne seku.

21.g