3989.

609.b

TEKST ZADATKA

Polinom q(x)=4x4−15x3+25x+6 q(x) = 4x^4 - 15x^3 + 25x + 6 podeliti sa 4x+1, 4x + 1 , a zatim dobijeni količnik rastaviti na činioce.

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo podeliti polinom q(x) q(x) sa binomom 4x+1. 4x + 1 . Primetimo da u polinomu q(x) q(x) nedostaje član sa x2, x^2 , pa ga možemo zapisati kao 0x2 0x^2 radi lakšeg potpisivanja prilikom deljenja.

(4x4−15x3+0x2+25x+6):(4x+1)=x3−4x2+x+6−(4x4+x3)‾−16x3+0x2−(−16x3−4x2)‾4x2+25x−(4x2+x)‾24x+6−(24x+6)‾0\begin{aligned} &(4x^4 - 15x^3 + 0x^2 + 25x + 6) : (4x + 1) = x^3 - 4x^2 + x + 6 \\ &\underline{-(4x^4 + x^3)} \\ &\quad -16x^3 + 0x^2 \\ &\quad \underline{-(-16x^3 - 4x^2)} \\ &\qquad 4x^2 + 25x \\ &\qquad \underline{-(4x^2 + x)} \\ &\qquad \quad 24x + 6 \\ &\qquad \quad \underline{-(24x + 6)} \\ &\qquad \quad 0 \end{aligned}

Dobijeni količnik je polinom trećeg stepena koji ćemo označiti sa Q(x). Q(x) .

Q(x)=x3−4x2+x+6Q(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6

Da bismo rastavili količnik na činioce, tražimo njegove celobrojne nule među deliocima slobodnog člana, odnosno broja 6. Delioci su ±1,±2,±3,±6. \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 . Proveravamo vrednost polinoma za x=−1. x = -1 .

Q(−1)=(−1)3−4(−1)2+(−1)+6=−1−4−1+6=0Q(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0

Pošto je Q(−1)=0, Q(-1) = 0 , na osnovu Bezuove teoreme zaključujemo da je polinom Q(x) Q(x) deljiv sa x−(−1), x - (-1) , odnosno sa x+1. x + 1 .

(x3−4x2+x+6):(x+1)(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1)

Izvršićemo deljenje polinoma Q(x) Q(x) sa x+1. x + 1 .

(x3−4x2+x+6):(x+1)=x2−5x+6−(x3+x2)‾−5x2+x−(−5x2−5x)‾6x+6−(6x+6)‾0\begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6 \\ &\underline{-(x^3 + x^2)} \\ &\quad -5x^2 + x \\ &\quad \underline{-(-5x^2 - 5x)} \\ &\qquad 6x + 6 \\ &\qquad \underline{-(6x + 6)} \\ &\qquad 0 \end{aligned}

Sada možemo zapisati polinom Q(x) Q(x) kao proizvod linearnog i kvadratnog faktora.

Q(x)=(x+1)(x2−5x+6)Q(x) = (x + 1)(x^2 - 5x + 6)

Kvadratni trinom x2−5x+6 x^2 - 5x + 6 možemo dalje rastaviti na činioce grupisanjem članova.

x2−5x+6=x2−2x−3x+6=x(x−2)−3(x−2)=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6 = x(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)(x - 3)

Konačan oblik količnika rastavljenog na činioce je proizvod tri linearna faktora.

Q(x)=(x+1)(x−2)(x−3)Q(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)