3978.

601.g

TEKST ZADATKA

Podeliti polinome: x5−x3−x2+x+1 x^5 - x^3 - x^2 + x + 1 sa x3+x2−1 x^3 + x^2 - 1 ;

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo deljenje polinoma u standardnom obliku:

(x5−x3−x2+x+1):(x3+x2−1)(x^5 - x^3 - x^2 + x + 1) : (x^3 + x^2 - 1)

Delimo član sa najvećim stepenom deljenika (x5 x^5 ) članom sa najvećim stepenom delioca (x3 x^3 ). Dobijamo prvi član količnika:

x5x3=x2\frac{x^5}{x^3} = x^2

Množimo dobijeni član količnika (x2 x^2 ) sa deliocem (x3+x2−1 x^3 + x^2 - 1 ) i oduzimamo taj rezultat od deljenika kako bismo dobili prvi ostatak:

(x5−x3−x2+x+1)−x2(x3+x2−1)=(x5−x3−x2+x+1)−(x5+x4−x2)=x5−x3−x2+x+1−x5−x4+x2=−x4−x3+x+1\begin{aligned} &(x^5 - x^3 - x^2 + x + 1) - x^2(x^3 + x^2 - 1) \\ &= (x^5 - x^3 - x^2 + x + 1) - (x^5 + x^4 - x^2) \\ &= x^5 - x^3 - x^2 + x + 1 - x^5 - x^4 + x^2 \\ &= -x^4 - x^3 + x + 1 \end{aligned}

Sada delimo član sa najvećim stepenom novog ostatka (−x4 -x^4 ) članom sa najvećim stepenom delioca (x3 x^3 ). Dobijamo sledeći član količnika:

−x4x3=−x\frac{-x^4}{x^3} = -x

Množimo novi član količnika (−x -x ) sa deliocem i oduzimamo od trenutnog ostatka:

(−x4−x3+x+1)−(−x)(x3+x2−1)=(−x4−x3+x+1)−(−x4−x3+x)=−x4−x3+x+1+x4+x3−x=1\begin{aligned} &(-x^4 - x^3 + x + 1) - (-x)(x^3 + x^2 - 1) \\ &= (-x^4 - x^3 + x + 1) - (-x^4 - x^3 + x) \\ &= -x^4 - x^3 + x + 1 + x^4 + x^3 - x \\ &= 1 \end{aligned}

Stepen dobijenog ostatka (konstanta 1 1 ima stepen nula) je manji od stepena delioca (koji je 3), pa je postupak deljenja završen. Količnik je Q(x)=x2−x, Q(x) = x^2 - x , a ostatak R(x)=1. R(x) = 1 .

x5−x3−x2+x+1=(x3+x2−1)(x2−x)+1x^5 - x^3 - x^2 + x + 1 = (x^3 + x^2 - 1)(x^2 - x) + 1