2138.

494.g

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost logaritma: log⁡814. \log_8 \frac{1}{4} .

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo definiciju logaritma x=log⁡ab  ⟺  ax=b. x = \log_a b \iff a^x = b . Postavljamo jednačinu:

log⁡814=x  ⟺  8x=14\log_8 \frac{1}{4} = x \iff 8^x = \frac{1}{4}

Svodimo obe strane jednačine na istu osnovu. Kako je 8=23 8 = 2^3 i 4=22, 4 = 2^2 , koristimo osobine stepenovanja:

(23)x=122(2^3)^x = \frac{1}{2^2}

Koristimo pravila za stepenovanje (am)n=am⋅n (a^m)^n = a^{m \cdot n} i 1an=a−n: \frac{1}{a^n} = a^{-n} :

23x=2−22^{3x} = 2^{-2}

Pošto su osnove iste, izjednačavamo izložioce:

3x=−23x = -2

Rešavamo linearnu jednačinu po x: x :

x=−23x = -\frac{2}{3}

Konačna vrednost logaritma je:

log⁡814=−23\log_8 \frac{1}{4} = -\frac{2}{3}