44.

Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Izračunati integral:

∫x∗5xdx\int{x * 5^xdx}
REŠENJE ZADATKA

Da bi se rešio dati integral koristi se metod parcijalne integracije. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: uu i dvdv deo.

u=xdv=5x dxu=x \quad dv=5^x \space dx

Izračunati izvod funkcije uu u odnosu na x.x.

u=x ∣′u=x \space \Big|'
du=dxdu=dx

Izračunati integral od dvdv da bi se dobilo v.v.

v=∫5xdx=5xln⁡5v = \int{5^x}dx = \frac{5^x}{\ln{5}}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

x⋅5xln⁡5−∫5xln⁡5dxx \cdot \frac{5^x}{\ln{5}} - \int{\frac{5^x}{\ln{5}} dx}

Konstanta 1ln⁡5\frac{1}{\ln{5}} može se izvući ispred integrala.

x⋅5xln⁡5−1ln⁡5∫5xdxx \cdot \frac{5^x}{\ln{5}} - \frac{1}{\ln{5}}\int{{5^x} dx}

Izračunati tablični integral: ∫axdx=axln⁡a+C,a>0,a=/ 1 \int{a^xdx} = \frac{a^x}{\ln{a}}+ C, a>0, a{=}\mathllap{/\,}1

x⋅5xln⁡5−1ln⁡5⋅5xln⁡5+Cx \cdot \frac{5^x}{\ln{5}} - \frac{1}{\ln{5}} \cdot \frac{5^x}{\ln{5}} + C

Srediti izraz:

5xln⁡5⋅(x−1ln⁡5)+C\frac{5^x}{\ln{5}} \cdot ( x - \frac{1}{\ln{5}} ) + C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti