414. Parcijalna integracija

Odrediti integral:

\int{x^3 \sin{2x} \space dx}

Uvesti smenu $t$

2x=t

Odrediti izvod od $t$ po $x:$

2dx=dt

Zameniti $x$ smenom $t$

\int{(\frac{t}{2})^3\sin{t} \space \frac{dt}{2}}

Izvući konstante ispred integrala.

\frac{1}{16}\int{t^3\sin{t} \space dt}

Integral $\int{t^3\sin{t} \space dt}$ rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=t^3 \quad dv=\sin{t}\space dt

Odrediti $du$ i $v$

du=3t^2dt \quad v=-\cos{t}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\frac{1}{16}(-t^3\cos{t}-\int{-\cos{t}\cdot3t^2 \space dt})

Izvući konstante ispred integrala.

\frac{1}{16}(-t^3\cos{t}+3\int{t^2\cos{t} \space dt})

Integral $\int{t^2\cos{t} \space dt}$ rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=t^2 \quad dv=\cos{t}\space dt

Odrediti $du$ i $v$

du=2tdt \quad v=\sin{t}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\frac{1}{16}(-t^3\cos{t}+3(t^2\sin{t}-\int{2t\sin{t} \space dt})

Izvući konstante ispred integrala.

\frac{1}{16}(-t^3\cos{t}+3(t^2\sin{t}-2\int{t\sin{t} \space dt})

Integral $\int{t\sin{t} \space dt}$ rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=t \quad dv=\sin{t}\space dt

Odrediti $du$ i $v$

du=dt \quad v=-\cos{x}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\frac{1}{16}(-t^3\cos{t}+3(t^2\sin{t}-2(-t\cos{t}-\int{-\cos{t} \space dt})))

Izračunati tablični integral.

\frac{1}{16}(-t^3\cos{t}+3(t^2\sin{t}-2(-t\cos{t}-\sin{t})))+C

Vratiti smenu:

\frac{1}{16}(8x^3\cos{2x}+3(4x^2\sin{2x}+4x\cos{2x}-2\sin{x})))+C

414.Parcijalna integracija