413. Parcijalna integracija

Odrediti integral:

\int{e^x \cdot sin{x} \space dx}

Da bi se rešio dati integral koristi se metod parcijalne integracije. Potrebno je integral razdvojiti na dva dela: $u$ i $dv$ deo. Kod ovog zadatka svejedno je koji deo će biti $u,$ a koji $dv,$ pa se može odabrati:

u=\sin{x} \quad dv=e^x\space dx

du=\cos{x} \space dx \quad v=e^x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

e^x \space \sin{x} - \int{ e^x\space \cos{x} \space dx}

Integral $\int{e^x \space \cos{x} \space dx}$ se takođe rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=\cos{x} \quad dv=e^x \space dx

Odrediti $du$ i $v$

du=-\sin{x} \space dx \quad v=e^x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\int{\cos{x} \space e^x \space dx}= \cos{x}\space e^x + \int{\sin{x} \space e^x \space dx}

Vratiti rezultat integrala $\int{\cos{x} \space e^x \space dx}$ u početni integral.

e^x \space \sin{x} - (\cos{x}\space e^x + \int{\sin{x} \space e^x \space dx})

Primetiti da je dobijen integral sa početka zadatka. Označiti početni integral, ujedno i traženi integral sa $I.$

I=\int{e^x \cdot sin{x} \space dx}

Zamenom oznake $I$ u prethodni rezultat, dobija se:

I=e^x \space \sin{x} - \cos{x}\space e^x - I

Prebaciti $I$ na levu stranu:

2I=e^x \space \sin{x} - \cos{x}\space e^x

Traženi integral može se izraziti kao:

I=\frac{1}{2}( \sin{x} - \cos{x}\space e^x)

413.Parcijalna integracija

413.
Parcijalna integracija