408. Parcijalna integracija

Odrediti integral:

\int{x^2 \cdot \sin{x} \space dx}

Da bi se rešio dati integral koristi se metod parcijalne integracije. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: $u$ i $dv$ deo.

u=x^2 \quad dv=\sin{x} \space dx

Izračunati izvod funkcije $u$ u odnosu na $x.$

u=x^2 \space \Big|'

du=2xdx

Izračunati integral od $dv$ da bi se dobilo $v.$

v=\int{\sin{x}} \space dx \Rightarrow v=-\cos{x}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

-x^2\cos{x}-\int{-\cos{x}2x \space dx}

Srediti izraz:

x^2\cdot\cos{x}+2\int{x\cos{x} \space dx}

Integral $\int{x\cos{x} \space dx}$ takođe se rešava metodom parcijalne integracije. Za promenljive $u$ i $dv$ bira se:

u=x \quad dv=\cos{x} \space dx

Odrediti $du$ i $v$

du=dx \quad v=\sin{x}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

x^2\cdot\cos{x}+2(x\sin{x}-\int{\sin{x} \space dx}

Primeniti formulu tabličnog integrala:

x^2\cos{x}+2(x\sin{x}+\cos{x})+C

Osloboditi se zagrade:

x^2\cos{x}+2x\sin{x}+2\cos{x}+C

408.Parcijalna integracija