407.

Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫arcsin⁡x dx\int{\arcsin{x} \space dx}
REŠENJE ZADATKA

Da bi se rešio dati integral koristi se metod parcijalne integracije. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: uu i dvdv deo.

u=arcsin⁡xdv=dxu=\arcsin{x} \quad dv= dx

Izračunati izvod funkcije uu u odnosu na x.x.

u=arcsin⁡x ∣′u=\arcsin{x} \space \Big|'
du=11−x2dxdu=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx

Izračunati integral od dvdv da bi se dobilo v.v.

v=∫dx⇒v=xv=\int dx \Rightarrow v=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

x⋅arcsin⁡x−∫x1−x2⋅dxx\cdot\arcsin{x}-\int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx}

Uvesti smenu t:t:

t=1−x2t=1-x^2

Odrediti izvod od ttpo x:x:

−2xdx=dt-2xdx=dt

Zameniti xxsmenom t:t:

x⋅arcsin⁡x−∫xt⋅dt−2xx\cdot\arcsin{x}-\int{\frac{\cancel{x}}{\sqrt{t}} \cdot \frac{dt}{-2\cancel{x}}}

Srediti izraz:

x⋅arcsin⁡x+12∫t−12⋅dtx\cdot\arcsin{x}+\frac{1}{2}\int{t^{-\frac{1}{2}} \cdot dt}

Izračunati tablični integral:

x⋅arcsin⁡x+12⋅2tx\cdot\arcsin{x}+\frac{1}{\cancel{2}}\cdot\cancel{2}\sqrt{t}

Vratiti xxumesto t:t:

x⋅arcsin⁡x+1−x2+Cx\cdot\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti