2770.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Odrediti period funkcija: f(x)=sin⁡2xcos⁡x f(x) = \sin^2 x \cos x

REŠENJE ZADATKA

Transformisaćemo dati izraz koristeći trigonometrijske identitete kako bismo ga sveli na zbir funkcija čije periode lako možemo odrediti. Prvo koristimo formulu za polovinu ugla: sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2. \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} .

Zamenjujemo ovo u početnu funkciju.

f(x)=1−cos⁡(2x)2cos⁡x=12cos⁡x−12cos⁡(2x)cos⁡xf(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \cos x = \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{2} \cos(2x) \cos x

Sada koristimo formulu za pretvaranje proizvoda u zbir: cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]. \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] .

Primenjujemo formulu na izraz cos⁡(2x)cos⁡x. \cos(2x) \cos x .

cos⁡(2x)cos⁡x=12[cos⁡(2x+x)+cos⁡(2x−x)]=12[cos⁡(3x)+cos⁡x]\cos(2x) \cos x = \frac{1}{2}[\cos(2x + x) + \cos(2x - x)] = \frac{1}{2}[\cos(3x) + \cos x]

Vraćamo dobijeni izraz u funkciju f(x). f(x) .

f(x)=12cos⁡x−12(12[cos⁡(3x)+cos⁡x])f(x) = \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}[\cos(3x) + \cos x] \right)

Sređujemo izraz.

f(x)=12cos⁡x−14cos⁡(3x)−14cos⁡x=14cos⁡x−14cos⁡(3x)f(x) = \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{4} \cos(3x) - \frac{1}{4} \cos x = \frac{1}{4} \cos x - \frac{1}{4} \cos(3x)

Funkcija je sada izražena kao zbir dve kosinusne funkcije. Period funkcije cos⁡(kx) \cos(kx) se računa po formuli T=2πk. T = \frac{2\pi}{k} .

Računamo periode pojedinačnih sabiraka.

T1=2π1=2π,T2=2π3T_1 = \frac{2\pi}{1} = 2\pi, \quad T_2 = \frac{2\pi}{3}

Osnovni period funkcije f(x) f(x) je najmanji zajednički sadržalac (NZS) perioda T1 T_1 i T2. T_2 .

T=NZS(2π,2π3)T = \text{NZS}\left(2\pi, \frac{2\pi}{3}\right)

Pošto je 2π 2\pi celobrojni umnožak od 2π3 \frac{2\pi}{3} (jer je 2π=3⋅2π3 2\pi = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} ), njihov najmanji zajednički sadržalac je 2π. 2\pi .

T=2πT = 2\pi

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti